Номер 15.1, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.1. Упростите выражение:

a) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\sin(22^\circ + \alpha)\sin(23^\circ - \alpha) - \cos(22^\circ + \alpha)\cos(23^\circ - \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha + \frac{\pi}{4})\sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.

В данном выражении можно принять:

$x = \alpha + \frac{\pi}{4}$

$y = \alpha - \frac{\pi}{4}$

Тогда исходное выражение является синусом разности этих углов:

$\sin(x - y) = \sin\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Как известно, значение $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Ответ: 1.

б) Для упрощения выражения $\sin(22^\circ + \alpha)\sin(23^\circ - \alpha) - \cos(22^\circ + \alpha)\cos(23^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.

Сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы привести выражение к виду формулы:

$-(\cos(22^\circ + \alpha)\cos(23^\circ - \alpha) - \sin(22^\circ + \alpha)\sin(23^\circ - \alpha))$

Теперь выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы, где:

$x = 22^\circ + \alpha$

$y = 23^\circ - \alpha$

Подставим эти значения в формулу, учитывая минус перед скобкой:

$-\cos(x+y) = -\cos\left((22^\circ + \alpha) + (23^\circ - \alpha)\right) = -\cos\left(22^\circ + \alpha + 23^\circ - \alpha\right) = -\cos(22^\circ + 23^\circ) = -\cos(45^\circ)$.

Значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, результат равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.