Номер 13.9, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.9. Найдите сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $2\cos^2 2x - 17\cos2x - 9 = 0$.

Для решения уравнения $2\cos^2 2x - 17\cos 2x - 9 = 0$ введем замену переменной. Пусть $t = \cos 2x$, тогда уравнение принимает вид:

$2t^2 - 17t - 9 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361 = 19^2$

Корни для переменной $t$:

$t_1 = \frac{17 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{36}{4} = 9$

$t_2 = \frac{17 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1. $\cos 2x = 9$. Уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

2. $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для этого случая:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Разделив на 2, получим все корни исходного уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это выражение задает две серии корней:

1) $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

2) $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь найдем требуемые по условию корни.

Наибольший отрицательный корень:Для первой серии при $n=-1$ имеем $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Для второй серии при $n=0$ имеем $x = -\frac{\pi}{3}$. Сравнивая полученные отрицательные корни $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$, выбираем больший из них. Так как $-\frac{1}{3} > -\frac{2}{3}$, то наибольший отрицательный корень равен $-\frac{\pi}{3}$. Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

Наименьший положительный корень:Для первой серии при $n=0$ имеем $x = \frac{\pi}{3}$. Для второй серии при $n=1$ имеем $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$. Сравнивая полученные положительные корни $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$, выбираем меньший из них. Так как $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{3}$. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней:Найдем сумму полученных корней: $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 0$. Ответ: 0.