Номер 13.7, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.7. Найдите число корней уравнения $\ctg^2 x - (\sqrt{3} - 1)\ctg x - \sqrt{3} = 0$ на промежутке $[-\pi; 2\pi]$.

Данное уравнение $ctg^2x - (\sqrt{3} - 1)ctgx - \sqrt{3} = 0$ является квадратным относительно $ctgx$.

Для его решения введем замену $y = ctgx$. Уравнение примет вид:

$$ y^2 - (\sqrt{3} - 1)y - \sqrt{3} = 0 $$

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть $y_1 + y_2 = \sqrt{3} - 1$. Произведение корней равно свободному члену: $y_1 \cdot y_2 = -\sqrt{3}$.

Подбором находим корни: $y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Получаем совокупность двух простейших тригонометрических уравнений:

1. $ctgx = \sqrt{3}$
2. $ctgx = -1$

Решим каждое уравнение и отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\pi; 2\pi]$. Необходимо также учесть, что область определения котангенса $x \neq \pi n, n \in Z$. Ни один из найденных далее корней не совпадает с этими значениями.

Для уравнения $ctgx = \sqrt{3}$ общее решение имеет вид $x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, что дает $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Найдем корни на промежутке $[-\pi; 2\pi]$ путем перебора целых значений $n$:

• При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Корень не принадлежит промежутку.

Следовательно, первое уравнение дает 3 корня на указанном промежутке.

Для уравнения $ctgx = -1$ общее решение имеет вид $x = arcctg(-1) + \pi k$, что дает $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Найдем корни на промежутке $[-\pi; 2\pi]$ путем перебора целых значений $k$:

• При $k = -1$: $x = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $k = 0$: $x = \frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $k = 1$: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
• При $k = 2$: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. Корень не принадлежит промежутку.

Второе уравнение также дает 3 корня на указанном промежутке. Все найденные корни различны.

Общее число корней исходного уравнения равно сумме числа корней от каждого из двух уравнений: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.