Номер 13.8, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.8. Решите уравнение:

a) $ \sin^2 12x - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 2x - \cos^2 12x + 1; $

б) $ \cos^2 \frac{2x}{5} - 1 - \cos 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin^2 \frac{2x}{5}. $

Исходное уравнение: $sin^2 12x - \frac{\sqrt{3}}{2} = sin2x - cos^2 12x + 1$.

Сгруппируем члены, содержащие $12x$, в левой части уравнения:

$sin^2 12x + cos^2 12x - \frac{\sqrt{3}}{2} = sin2x + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = 12x$:

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = sin2x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$sin2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $sin(y) = a$ записывается в виде $y = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, k \in Z$

Это можно переписать в виде:

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Исходное уравнение: $cos^2 \frac{2x}{5} - 1 - cos5x = \frac{\sqrt{2}}{2} - sin^2 \frac{2x}{5}$.

Перенесем $sin^2 \frac{2x}{5}$ из правой части в левую:

$cos^2 \frac{2x}{5} + sin^2 \frac{2x}{5} - 1 - cos5x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{2x}{5}$:

$1 - 1 - cos5x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим левую часть уравнения:

$-cos5x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos5x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это также простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $cos(y) = a$ записывается как $y = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В данном случае $y = 5x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$5x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 5:

$x = \pm \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, k \in Z$

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, k \in Z$.