Номер 13.11, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.1.1. Найдите нули функции $y = \operatorname{ctg}x \left( \cos\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Для нахождения нулей функции $y = \operatorname{ctg}x \left(\cos\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение, учитывая область допустимых значений (ОДЗ).

Уравнение: $\operatorname{ctg}x \left(\cos\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$.

Сначала определим ОДЗ. Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют (то есть значение $x$ входит в ОДЗ). Рассмотрим два случая:

1) $\operatorname{ctg}x = 0$

Это уравнение равносильно $\cos x = 0$ (при условии, что $\sin x \neq 0$). Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$ имеем $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$, что никогда не равно нулю. Следовательно, все корни этой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ являются нулями исходной функции.

2) $\cos\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Отсюда получаем $\cos\frac{x}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением этого уравнения является $\frac{x}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Отсюда $\frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m$. Умножив на 4, находим $x = \pm \pi + 8\pi m$. Эта запись объединяет две серии корней: $x = \pi(1 + 8m)$ и $x = \pi(-1 + 8m)$. Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pi n$). Обе серии представляют собой значения $x$, кратные $\pi$, так как $(1+8m)$ и $(-1+8m)$ являются целыми числами при целых $m$. При таких значениях $x$ функция $\operatorname{ctg}x$ не определена. Следовательно, эти корни являются посторонними и не являются нулями исходной функции.

Таким образом, единственными нулями функции являются решения из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.