Номер 12.16, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.16. Вычислите:

а) $ \arcsin\left(\sin \frac{5\pi}{6}\right); $

б) $ \arccos\left(\cos \frac{6\pi}{5}\right); $

в) $ \arcsin\left(\sin \frac{13\pi}{6}\right); $

г) $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{25\pi}{4}\right)\right). $

а)

Для вычисления $arcsin(sin(\frac{5\pi}{6}))$ необходимо учитывать область значений функции арксинус, которая представляет собой отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ не входит в этот отрезок, поэтому мы не можем напрямую применить тождество $arcsin(sin(x)) = x$.

Необходимо найти угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $sin(\frac{5\pi}{6})$.

Используем формулу приведения $sin(\pi - x) = sin(x)$:

$sin(\frac{5\pi}{6}) = sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому:

$arcsin(sin(\frac{5\pi}{6})) = arcsin(sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

б)

Для вычисления $arccos(cos(\frac{6\pi}{5}))$ необходимо учитывать область значений функции арккосинус, которая представляет собой отрезок $[0, \pi]$.

Угол $\frac{6\pi}{5}$ не входит в этот отрезок. Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, выделим целую часть: $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$.

Найдём угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $cos(\frac{6\pi}{5})$.

Используем формулу приведения $cos(\pi + x) = -cos(x)$:

$cos(\frac{6\pi}{5}) = cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -cos(\frac{\pi}{5})$

Теперь нам нужен угол $\alpha \in [0, \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = -cos(\frac{\pi}{5})$. Используем другую формулу приведения $cos(\pi - x) = -cos(x)$:

$cos(\pi - \frac{\pi}{5}) = cos(\frac{4\pi}{5})$

Угол $\frac{4\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поэтому:

$arccos(cos(\frac{6\pi}{5})) = arccos(cos(\frac{4\pi}{5})) = \frac{4\pi}{5}$

Ответ: $\frac{4\pi}{5}$

в)

Для вычисления $arcsin(sin(\frac{13\pi}{6}))$ снова обратимся к области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Угол $\frac{13\pi}{6}$ не принадлежит этому отрезку. Дробь $\frac{13}{6}$ является неправильной. Выделим целую часть, чтобы использовать периодичность синуса. Целая часть от деления $13$ на $6$ равна $2$.

$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$

Поскольку период синуса равен $2\pi$, то $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ для целого $k$.

$sin(\frac{13\pi}{6}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому:

$arcsin(sin(\frac{13\pi}{6})) = arcsin(sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

г)

Для вычисления $arcctg(ctg(-\frac{25\pi}{4}))$ необходимо учитывать область значений функции арккотангенс, которая представляет собой интервал $(0, \pi)$.

Угол $-\frac{25\pi}{4}$ не входит в этот интервал. Это неправильная дробь. Выделим целую часть, чтобы использовать периодичность котангенса (период равен $\pi$). Целая часть от деления $25$ на $4$ равна $6$.

$-\frac{25\pi}{4} = -(\frac{24\pi + \pi}{4}) = -(6\pi + \frac{\pi}{4}) = -6\pi - \frac{\pi}{4}$

Используем свойство периодичности $ctg(x + \pi k) = ctg(x)$ для целого $k = -6$.

$ctg(-\frac{25\pi}{4}) = ctg(-6\pi - \frac{\pi}{4}) = ctg(-\frac{\pi}{4})$

Теперь нужно вычислить $arcctg(ctg(-\frac{\pi}{4}))$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Найдём угол $\alpha \in (0, \pi)$ такой, что $ctg(\alpha) = ctg(-\frac{\pi}{4})$.

Используем формулы приведения $ctg(-x) = -ctg(x)$ и $ctg(\pi - x) = -ctg(x)$:

$ctg(-\frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4})$

$ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{3\pi}{4})$

Так как $ctg(\frac{3\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4})$, и угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то:

$arcctg(ctg(-\frac{25\pi}{4})) = arcctg(ctg(\frac{3\pi}{4})) = \frac{3\pi}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$