Номер 7.13, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.13. Сравните с нулем значения выражений $sin\alpha$ и $cos\alpha$, если известно, что:

а) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

б) $-\frac{5\pi}{2} < \alpha < -2\pi$;

в) $2,5\pi < \alpha < 3\pi$;

г) $-19,5\pi < \alpha < -19\pi$.

Для того чтобы сравнить значения выражений $sin\alpha$ и $cos\alpha$ с нулем, необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знак синуса соответствует знаку координаты y, а знак косинуса — знаку координаты x на единичной окружности.

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $sin\alpha > 0$, $cos\alpha > 0$
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $sin\alpha > 0$, $cos\alpha < 0$
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $sin\alpha < 0$, $cos\alpha < 0$
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $sin\alpha < 0$, $cos\alpha > 0$

Для углов, выходящих за пределы промежутка $[0, 2\pi)$, мы можем прибавлять или вычитать целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число), чтобы найти соответствующий угол в этом промежутке, так как значения синуса и косинуса периодичны с периодом $2\pi$.

а) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

Данный интервал углов полностью соответствует II (второй) координатной четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Ответ: $sin\alpha > 0$, $cos\alpha < 0$.

б) $-2\frac{1}{2}\pi < \alpha < -2\pi$

Чтобы определить четверть, приведем угол $\alpha$ к основному промежутку $[0, 2\pi)$. Для этого прибавим $4\pi$ (два полных оборота) ко всем частям неравенства:

$-2\frac{1}{2}\pi + 4\pi < \alpha + 4\pi < -2\pi + 4\pi$

$-\frac{5\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$

$\frac{3\pi}{2} < \alpha' < 2\pi$

Полученный интервал соответствует IV (четвертой) четверти. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Ответ: $sin\alpha < 0$, $cos\alpha > 0$.

в) $2\frac{1}{2}\pi < \alpha < 3\pi$

Чтобы определить четверть, приведем угол $\alpha$ к основному промежутку $[0, 2\pi)$. Для этого вычтем $2\pi$ (один полный оборот) из всех частей неравенства:

$2\frac{1}{2}\pi - 2\pi < \alpha - 2\pi < 3\pi - 2\pi$

$\frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} < \alpha' < \pi$

$\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$

Полученный интервал соответствует II (второй) четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Ответ: $sin\alpha > 0$, $cos\alpha < 0$.

г) $-19\frac{1}{2}\pi < \alpha < -19\pi$

Чтобы определить четверть, приведем угол $\alpha$ к основному промежутку $[0, 2\pi)$. Для этого прибавим $20\pi$ (десять полных оборотов) ко всем частям неравенства:

$-19\frac{1}{2}\pi + 20\pi < \alpha + 20\pi < -19\pi + 20\pi$

$-\frac{39\pi}{2} + \frac{40\pi}{2} < \alpha' < \pi$

$\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$

Полученный интервал соответствует II (второй) четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Ответ: $sin\alpha > 0$, $cos\alpha < 0$.