Номер 1.2, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

а) Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Поэтому необходимо решить неравенство:

$1 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть:

$1 \ge x^2$

Это неравенство равносильно $|x| \le 1$, что означает, что $x$ должен находиться в промежутке от -1 до 1 включительно.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

б) Дана функция $y = \frac{1}{x^4 - 1}$.

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключим их из области определения.

$x^4 - 1 \neq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) \neq 0$

Выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля для любых действительных $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, нам нужно только, чтобы множитель $(x^2 - 1)$ не был равен нулю:

$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1$

Отсюда получаем $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, область определения – это все действительные числа, кроме 1 и -1.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x - 8}$.

Аналогично пункту а), выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 8 \ge 0$

Решаем это линейное неравенство, перенеся 8 в правую часть:

$x \ge 8$

Область определения функции – это все числа, которые больше или равны 8.

Ответ: $x \in [8, \infty)$.

г) Дана функция $y = \frac{2x}{\sqrt{1 - x}}$.

В этой функции есть два ограничения:
1. Выражение под корнем $1-x$ должно быть неотрицательным ($1 - x \ge 0$).
2. Знаменатель $\sqrt{1 - x}$ не должен быть равен нулю ($\sqrt{1 - x} \neq 0$).

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным.

$1 - x > 0$

Решаем неравенство:

$1 > x$, что то же самое, что и $x < 1$.

Область определения функции – это все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.