Номер 841, страница 164 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Модуль начальной скорости гранаты, $v_0 = 20 \frac{м}{с}$

Масса большего осколка - $m_1$

Масса меньшего осколка - $m_2$

Модуль скорости большего осколка, $v_1 = 30 \frac{м}{с}$

Угол скорости большего осколка к горизонту, $\alpha = 60°$

Модуль скорости меньшего осколка, $v_2 = 60 \frac{м}{с}$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Отношение масс осколков $\frac{m_1}{m_2}$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из гранаты. Разрыв гранаты является внутренним процессом. Для таких процессов выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до разрыва равен сумме импульсов осколков после разрыва.

Пусть $M$ - масса гранаты до разрыва, тогда $M = m_1 + m_2$. Начальный импульс системы: $\vec{p}_0 = M\vec{v}_0 = (m_1 + m_2)\vec{v}_0$.

Конечный импульс системы: $\vec{p}_f = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$.

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_0 = \vec{p}_f$:

$(m_1 + m_2)\vec{v}_0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

Для решения этого векторного уравнения введем систему координат. Направим ось OX горизонтально, по направлению начального движения гранаты, а ось OY - вертикально вверх.

Запишем проекции этого уравнения на оси координат:

На ось OX:

$(m_1 + m_2)v_0 = m_1v_1\cos(\alpha) + m_2v_{2x}$

На ось OY:

$0 = m_1v_1\sin(\alpha) + m_2v_{2y}$

где $v_{2x}$ и $v_{2y}$ - проекции скорости второго (меньшего) осколка на оси OX и OY соответственно.

Выразим $v_{2x}$ и $v_{2y}$ из этих уравнений:

$v_{2x} = \frac{(m_1 + m_2)v_0 - m_1v_1\cos(\alpha)}{m_2} = (\frac{m_1}{m_2} + 1)v_0 - \frac{m_1}{m_2}v_1\cos(\alpha)$

$v_{2y} = -\frac{m_1v_1\sin(\alpha)}{m_2} = -\frac{m_1}{m_2}v_1\sin(\alpha)$

Обозначим искомое отношение масс как $k = \frac{m_1}{m_2}$. Тогда:

$v_{2x} = (k + 1)v_0 - k v_1\cos(\alpha)$

$v_{2y} = -k v_1\sin(\alpha)$

Модуль скорости второго осколка $v_2$ связан со своими проекциями через теорему Пифагора: $v_2^2 = v_{2x}^2 + v_{2y}^2$.

Подставим значения величин:

$v_0 = 20 \frac{м}{с}$, $v_1 = 30 \frac{м}{с}$, $v_2 = 60 \frac{м}{с}$, $\alpha = 60°$

$\cos(60°) = 0.5$, $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$v_{2x} = (k + 1) \cdot 20 - k \cdot 30 \cdot 0.5 = 20k + 20 - 15k = 5k + 20$

$v_{2y} = -k \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -15\sqrt{3}k$

Теперь подставим эти выражения в формулу для квадрата модуля скорости $v_2$:

$v_2^2 = (5k + 20)^2 + (-15\sqrt{3}k)^2$

$60^2 = (25k^2 + 2 \cdot 5k \cdot 20 + 400) + (225 \cdot 3 \cdot k^2)$

$3600 = 25k^2 + 200k + 400 + 675k^2$

$3600 = 700k^2 + 200k + 400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$700k^2 + 200k - 3200 = 0$

Разделим уравнение на 100 для упрощения:

$7k^2 + 2k - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 4 + 896 = 900$

Корни уравнения:

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 \pm 30}{14}$

Получаем два корня:

$k_1 = \frac{-2 + 30}{14} = \frac{28}{14} = 2$

$k_2 = \frac{-2 - 30}{14} = -\frac{32}{14} = -\frac{16}{7}$

Поскольку $k$ представляет собой отношение масс, оно не может быть отрицательным. Следовательно, физический смысл имеет только корень $k_1 = 2$.

Таким образом, отношение массы большего осколка к массе меньшего осколка равно 2.

Ответ: 2.