Номер 836, страница 163 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса мины: $m$
Начальная скорость мины: $\vec{v_0}$
Масса первого осколка: $m_1$
Скорость первого осколка: $\vec{v_1}$
Условие: $\vec{v_1} \perp \vec{v_0}$

Найти:

Скорость второго осколка: $\vec{v_2}$

Решение:

Поскольку разрыв мины происходит за счет внутренних сил, для системы, состоящей из осколков, выполняется закон сохранения импульса. Импульс системы до разрыва равен суммарному импульсу осколков после разрыва.

Пусть масса второго осколка равна $m_2$. Согласно закону сохранения массы: $m = m_1 + m_2$, откуда $m_2 = m - m_1$.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: $m\vec{v_0} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$

Выразим из этого уравнения импульс второго осколка $m_2\vec{v_2}$: $m_2\vec{v_2} = m\vec{v_0} - m_1\vec{v_1}$

Для того чтобы найти модуль скорости $v_2 = |\vec{v_2}|$, возведем обе части полученного векторного уравнения в скалярный квадрат (то есть умножим скалярно на себя). $(m_2\vec{v_2}) \cdot (m_2\vec{v_2}) = (m\vec{v_0} - m_1\vec{v_1}) \cdot (m\vec{v_0} - m_1\vec{v_1})$

Раскрывая скобки, получаем: $m_2^2 v_2^2 = (m\vec{v_0}) \cdot (m\vec{v_0}) - 2(m\vec{v_0} \cdot m_1\vec{v_1}) + (m_1\vec{v_1}) \cdot (m_1\vec{v_1})$ $m_2^2 v_2^2 = m^2 v_0^2 - 2mm_1(\vec{v_0} \cdot \vec{v_1}) + m_1^2 v_1^2$

По условию задачи, вектор скорости первого осколка $\vec{v_1}$ перпендикулярен вектору начальной скорости мины $\vec{v_0}$. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v_0} \cdot \vec{v_1} = 0$

С учетом этого, уравнение упрощается: $m_2^2 v_2^2 = m^2 v_0^2 + m_1^2 v_1^2$

Выразим отсюда квадрат модуля скорости $v_2^2$: $v_2^2 = \frac{m^2 v_0^2 + m_1^2 v_1^2}{m_2^2}$

Подставим ранее найденное выражение для массы второго осколка $m_2 = m - m_1$: $v_2^2 = \frac{m^2 v_0^2 + m_1^2 v_1^2}{(m - m_1)^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем окончательную формулу для модуля скорости второго осколка: $v_2 = \frac{\sqrt{m^2 v_0^2 + m_1^2 v_1^2}}{m - m_1}$

Ответ:

Скорость движения второго осколка: $v_2 = \frac{\sqrt{m^2 v_0^2 + m_1^2 v_1^2}}{m - m_1}$.