Номер 846, страница 165 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_1$ – начальный модуль скорости судна
$m_1$ – масса судна с пушкой
$m_2$ – масса снаряда
$\vec{v}_2$ – скорость снаряда относительно земли
$\alpha$ – угол выстрела к горизонту

Найти:

$\Delta v$ – изменение модуля скорости движения судна.

Решение:

Поскольку по условию задачи сопротивлением движению можно пренебречь, внешние силы в горизонтальном направлении на систему «судно + снаряд» не действуют. Это означает, что для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Введем инерциальную систему отсчета, связанную с землей. Направим горизонтальную ось $Ox$ по направлению первоначального движения судна. Тогда начальная скорость судна $\vec{v}_1$ будет направлена вдоль оси $Ox$.

Импульс системы до выстрела. До выстрела судно и снаряд движутся вместе как единое целое. Их общая масса равна $m_1 + m_2$, а скорость – $v_1$. Проекция импульса системы на ось $Ox$ до выстрела равна:
$p_{x, нач} = (m_1 + m_2)v_1$

Импульс системы после выстрела. После выстрела судно массой $m_1$ движется с новой скоростью $u$, которую нам нужно найти. Снаряд массой $m_2$ вылетает со скоростью $\vec{v}_2$ относительно земли под углом $\alpha$ к горизонту в направлении, противоположном движению судна. Проекция скорости снаряда на ось $Ox$ будет отрицательной и равной:
$v_{2x} = -v_2 \cos \alpha$

Проекция импульса системы на ось $Ox$ после выстрела складывается из импульса судна и импульса снаряда:
$p_{x, кон} = m_1 u + m_2 v_{2x} = m_1 u - m_2 v_2 \cos \alpha$

Согласно закону сохранения импульса, приравняем начальный и конечный импульсы системы:
$p_{x, нач} = p_{x, кон}$
$(m_1 + m_2)v_1 = m_1 u - m_2 v_2 \cos \alpha$

Выразим из этого уравнения конечную скорость судна $u$:
$m_1 u = (m_1 + m_2)v_1 + m_2 v_2 \cos \alpha$
$u = \frac{(m_1 + m_2)v_1 + m_2 v_2 \cos \alpha}{m_1}$

Изменение модуля скорости судна $\Delta v$ равно разности между конечной и начальной скоростями:
$\Delta v = u - v_1 = \frac{(m_1 + m_2)v_1 + m_2 v_2 \cos \alpha}{m_1} - v_1$

Приведем выражение к общему знаменателю:
$\Delta v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_1 + m_2 v_2 \cos \alpha - m_1 v_1}{m_1} = \frac{m_2 v_1 + m_2 v_2 \cos \alpha}{m_1}$

Вынесем общий множитель $m_2$ за скобки:
$\Delta v = \frac{m_2 (v_1 + v_2 \cos \alpha)}{m_1}$

Ответ: Модуль скорости движения судна изменился на величину $\Delta v = \frac{m_2 (v_1 + v_2 \cos \alpha)}{m_1}$.