Номер 280, страница 68 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_1 = 10,0 \frac{м}{с}$

$v_2 = 5,0 \frac{м}{с}$

$l = 20$ см

$t = 6,28$ с

$l = 20 \text{ см} = 0,20 \text{ м}$

Найти:

$N$

Решение:

Все точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, движутся с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Линейная скорость точки $v$ зависит от ее расстояния $r$ до оси вращения и связана с угловой скоростью формулой:

$v = \omega r$

Пусть $R$ - это радиус колеса. Тогда линейная скорость точек на ободе колеса (на расстоянии $R$ от центра) равна:

$v_1 = \omega R$ (1)

Точки, находящиеся на расстоянии $l$ ближе к центру, вращаются на расстоянии $r_2 = R - l$ от центра. Их линейная скорость равна:

$v_2 = \omega (R - l)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $R$ и $\omega$. Необходимо найти угловую скорость $\omega$. Для этого раскроем скобки во втором уравнении:

$v_2 = \omega R - \omega l$

Из первого уравнения известно, что $\omega R = v_1$. Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:

$v_2 = v_1 - \omega l$

Теперь выразим из этого уравнения угловую скорость $\omega$:

$\omega l = v_1 - v_2$

$\omega = \frac{v_1 - v_2}{l}$

Подставим числовые значения из условия задачи, используя значение $l$ в системе СИ:

$\omega = \frac{10,0 \frac{м}{с} - 5,0 \frac{м}{с}}{0,20 \text{ м}} = \frac{5,0 \frac{м}{с}}{0,20 \text{ м}} = 25 \frac{рад}{с}$

Количество оборотов $N$, которое колесо совершает за время $t$, можно найти через полный угол поворота $\phi = \omega t$. Так как один полный оборот соответствует углу в $2\pi$ радиан, то количество оборотов равно:

$N = \frac{\phi}{2\pi} = \frac{\omega t}{2\pi}$

Подставим известные значения. Заметим, что заданное время $t = 6,28$ с очень близко к значению $2\pi$ (поскольку $2 \times 3,14 = 6,28$).

$N = \frac{25 \frac{рад}{с} \times 6,28 \text{ с}}{2\pi \text{ рад}} \approx \frac{25 \times 2\pi}{2\pi} = 25$

Таким образом, за указанное время колесо совершит 25 оборотов.

Ответ: 25 оборотов.