Номер 287, страница 69 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус тонкостенного шара: $R$

Частота вращения шара: $\nu$

Траектория пули: по диаметру, перпендикулярному оси вращения

Условие: пуля оставляет в оболочке только одно отверстие

Найти:

Модуль минимальной скорости пули: $v_{min}$

Решение:

Пуля движется внутри шара по его диаметру. Расстояние, которое пуля проходит внутри шара, равно $2R$. Если скорость пули равна $v$, то время ее полета внутри шара $t$ можно рассчитать по формуле:

$t = \frac{2R}{v}$

За это время шар, вращающийся с частотой $\nu$, повернется на определенный угол $\phi$. Угловая скорость вращения шара $\omega$ связана с частотой следующим образом:

$\omega = 2\pi\nu$

Следовательно, угол поворота шара за время $t$ равен:

$\phi = \omega \cdot t = 2\pi\nu \cdot \frac{2R}{v} = \frac{4\pi R\nu}{v}$

Согласно условию задачи, пуля должна сделать в оболочке шара только одно отверстие. Это возможно в том случае, если в момент вылета пули из шара входное отверстие повернется и окажется точно на месте выхода пули. Точки входа и выхода пули являются диаметрально противоположными.

В плоскости вращения (перпендикулярной оси) двум диаметрально противоположным точкам соответствует угловое расстояние в $\pi$ радиан (180°). Таким образом, чтобы входное отверстие совместилось с точкой выхода, шар должен повернуться на угол $\pi$ плюс некоторое целое число полных оборотов ($2\pi k$).

$\phi = \pi + 2\pi k = \pi(2k+1)$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Теперь мы можем приравнять два выражения, которые мы получили для угла поворота $\phi$:

$\frac{4\pi R\nu}{v} = \pi(2k+1)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ и выразим скорость $v$:

$\frac{4R\nu}{v} = 2k+1$

$v = \frac{4R\nu}{2k+1}$

Данная формула определяет набор возможных скоростей, при которых выполняется условие задачи. Каждому целому неотрицательному значению $k$ соответствует определенная скорость.

Для нахождения минимальной скорости $v_{min}$ необходимо, чтобы знаменатель $(2k+1)$ в полученной формуле был максимальным. Поскольку $k$ может принимать любые целые значения $0, 1, 2, ...$, оно может быть сколь угодно большим. При $k \to \infty$ знаменатель также стремится к бесконечности, а скорость $v$ стремится к нулю.

Таким образом, строгого минимального ненулевого значения для скорости не существует, так как для любого сколь угодно малого значения скорости можно подобрать соответствующее значение $k$.

Ответ: Возможные значения скорости пули, при которых в оболочке шара образуется только одно отверстие, задаются формулой $v = \frac{4R\nu}{2k+1}$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$. Из этой формулы следует, что минимальная скорость формально стремится к нулю при $k \to \infty$, поэтому определённого минимального ненулевого значения скорости не существует.