Номер 169, страница 42 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_т = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$t_{лодки} = t_{катера} + \frac{1}{8} t_{катера}$

Найти:

$v$ — модуль скорости движения катера

Решение:

Обозначим расстояние до пристани в одну сторону как $S$. Скорость катера и лодки относительно воды одинакова, обозначим ее как $v$.

1. Движение катера по озеру.

В озере вода стоячая, поэтому скорость течения равна нулю. Скорость катера относительно берега равна его скорости относительно воды $v$.

Время, затраченное катером на путь до пристани и обратно:

$t_{катера} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

2. Движение лодки по реке.

Скорость лодки по течению (вниз по реке) равна $v + v_т$.

Скорость лодки против течения (вверх по реке) равна $v - v_т$.

Время, затраченное лодкой на путь вниз и вверх по реке:

$t_{лодки} = \frac{S}{v + v_т} + \frac{S}{v - v_т}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$t_{лодки} = \frac{S(v - v_т) + S(v + v_т)}{(v + v_т)(v - v_т)} = \frac{Sv - Sv_т + Sv + Sv_т}{v^2 - v_т^2} = \frac{2Sv}{v^2 - v_т^2}$

3. Составим уравнение на основе условия задачи.

По условию, время лодки на $\frac{1}{8}$ больше времени катера:

$t_{лодки} = t_{катера} + \frac{1}{8}t_{катера} = (1 + \frac{1}{8})t_{катера} = \frac{9}{8}t_{катера}$

Подставим выражения для $t_{лодки}$ и $t_{катера}$:

$\frac{2Sv}{v^2 - v_т^2} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2S}{v}$

Сократим одинаковые множители ($2S$) в обеих частях уравнения:

$\frac{v}{v^2 - v_т^2} = \frac{9}{8v}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$v \cdot 8v = 9 \cdot (v^2 - v_т^2)$

$8v^2 = 9v^2 - 9v_т^2$

Перенесем слагаемые с $v^2$ в одну сторону, а с $v_т^2$ в другую:

$9v^2 - 8v^2 = 9v_т^2$

$v^2 = 9v_т^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как скорость — величина положительная, берем только положительный корень:

$v = \sqrt{9v_т^2} = 3v_т$

4. Вычислим искомую скорость.

Подставим значение скорости течения $v_т = 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$:

$v = 3 \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль скорости движения катера равен $3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.