Номер 172, страница 43 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Число ступенек, насчитанное в первом забеге, $N_1 = 40$.
Число ступенек, насчитанное во втором забеге, $N_2 = 60$.
Скорость мальчика во втором забеге ($v_{м2}$) втрое больше его скорости в первом забеге ($v_{м1}$), т.е. $v_{м2} = 3v_{м1}$.

Найти:

Полное число ступенек на неподвижном эскалаторе $N_0$.

Решение:

Пусть $N_0$ — полное число ступенек на эскалаторе, которое мы ищем. Это расстояние, которое нужно пройти от начала до конца эскалатора.Пусть $v_э$ — скорость эскалатора (в ступеньках в секунду), а $v_{м1}$ — скорость мальчика относительно эскалатора в первом случае (также в ступеньках в секунду).Когда мальчик бежит по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме его собственной скорости и скорости эскалатора (так как он движется в ту же сторону).

Рассмотрим первый случай.Скорость мальчика относительно земли: $v_1 = v_{м1} + v_э$.Время, за которое он пробегает эскалатор: $t_1$.За это время он проходит расстояние $N_0$. Таким образом, $N_0 = (v_{м1} + v_э) \cdot t_1$.Количество ступенек, которое он сам насчитал, — это произведение его скорости относительно эскалатора на время движения: $N_1 = v_{м1} \cdot t_1$.Из последнего уравнения выразим время $t_1 = \frac{N_1}{v_{м1}} = \frac{40}{v_{м1}}$.Подставим это время в уравнение для $N_0$:$N_0 = (v_{м1} + v_э) \cdot \frac{40}{v_{м1}} = 40 \cdot \left(\frac{v_{м1}}{v_{м1}} + \frac{v_э}{v_{м1}}\right) = 40 \left(1 + \frac{v_э}{v_{м1}}\right)$.

Рассмотрим второй случай.Скорость мальчика относительно эскалатора теперь $v_{м2} = 3v_{м1}$.Его скорость относительно земли: $v_2 = 3v_{м1} + v_э$.Время движения: $t_2$.За это время он также проходит расстояние $N_0$: $N_0 = (3v_{м1} + v_э) \cdot t_2$.Количество насчитанных им ступенек: $N_2 = (3v_{м1}) \cdot t_2$.Выразим время $t_2 = \frac{N_2}{3v_{м1}} = \frac{60}{3v_{м1}} = \frac{20}{v_{м1}}$.Подставим это время в уравнение для $N_0$:$N_0 = (3v_{м1} + v_э) \cdot \frac{20}{v_{м1}} = 20 \cdot \left(\frac{3v_{м1}}{v_{м1}} + \frac{v_э}{v_{м1}}\right) = 20 \left(3 + \frac{v_э}{v_{м1}}\right) = 60 + 20\frac{v_э}{v_{м1}}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $N_0$ и отношением скоростей $\frac{v_э}{v_{м1}}$:$\begin{cases} N_0 = 40 + 40 \frac{v_э}{v_{м1}} \\ N_0 = 60 + 20 \frac{v_э}{v_{м1}} \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны ($N_0$), мы можем приравнять их правые части:$40 + 40 \frac{v_э}{v_{м1}} = 60 + 20 \frac{v_э}{v_{м1}}$

Решим это уравнение относительно отношения скоростей:$40 \frac{v_э}{v_{м1}} - 20 \frac{v_э}{v_{м1}} = 60 - 40$$20 \frac{v_э}{v_{м1}} = 20$$\frac{v_э}{v_{м1}} = 1$

Это означает, что скорость эскалатора равна начальной скорости мальчика.Для нахождения $N_0$ подставим полученное значение $\frac{v_э}{v_{м1}} = 1$ в любое из двух исходных уравнений.Используя первое уравнение:$N_0 = 40 \left(1 + 1\right) = 40 \cdot 2 = 80$.

Проверим результат, используя второе уравнение:$N_0 = 60 + 20 \cdot 1 = 80$.Оба уравнения дают одинаковый результат.

Ответ: на неподвижном эскалаторе мальчик насчитает 80 ступенек.