Номер 112, страница 32 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Решение

Да, скорость пути может быть переменной, даже если модуль скорости перемещения тела постоянен. Для аргументации этого утверждения необходимо сначала уточнить используемые понятия.

Скорость пути (или путевая скорость) – это скалярная величина, равная модулю мгновенной скорости тела в данный момент времени. Обозначим ее как $v(t) = |\vec{v}(t)| = |\frac{d\vec{r}}{dt}|$, где $\vec{r}(t)$ – радиус-вектор тела.

Скорость перемещения – это векторная величина, определяемая как отношение вектора перемещения $\Delta\vec{r}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло. Обычно имеется в виду средняя скорость перемещения: $\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

Модуль скорости перемещения в условии задачи будем трактовать как модуль средней скорости перемещения, вычисленной от начального момента времени $t_0=0$ до текущего момента $t$. Если считать, что тело начинает движение из начала координат ($\vec{r}(0) = \vec{0}$), то вектор перемещения за время $t$ равен $\Delta\vec{r} = \vec{r}(t)$. Тогда модуль скорости перемещения равен: $|\vec{v}_{ср}| = \frac{|\vec{r}(t)|}{t}$

Условие, что эта величина постоянна, означает: $\frac{|\vec{r}(t)|}{t} = V = \text{const}$ Отсюда следует, что модуль радиус-вектора (расстояние от начала отсчета до тела) линейно зависит от времени: $|\vec{r}(t)| = V \cdot t$

Рассмотрим пример движения, удовлетворяющий этому условию. Пусть тело движется в плоскости так, что его расстояние от начала координат растет с постоянной скоростью $V$, и при этом оно вращается вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью $\omega$. В полярной системе координат такое движение описывается уравнениями: $R(t) = V \cdot t$ $\phi(t) = \omega \cdot t$ Здесь $R(t)$ – полярный радиус, а $\phi(t)$ – полярный угол. Траекторией такого движения является раскручивающаяся спираль.

Найдем скорость пути $v(t)$ для такого движения. Мгновенная скорость в полярных координатах имеет две компоненты: радиальную $\dot{R}$ и азимутальную (тангенциальную) $R\dot{\phi}$. Радиальная компонента скорости: $v_R = \frac{dR}{dt} = V$. Азимутальная компонента скорости: $v_{\phi} = R(t) \frac{d\phi}{dt} = (V \cdot t) \cdot \omega = V\omega t$. Модуль мгновенной скорости (скорость пути) равен: $v(t) = \sqrt{v_R^2 + v_{\phi}^2} = \sqrt{V^2 + (V\omega t)^2} = V\sqrt{1 + (\omega t)^2}$

Как видно из полученной формулы, скорость пути $v(t)$ зависит от времени $t$ (при $\omega \neq 0$). Следовательно, она является переменной величиной.

Таким образом, мы привели пример движения, при котором модуль скорости перемещения (в указанном выше смысле) постоянен, а скорость пути – переменная.

Ответ: Да, может. Например, при движении тела по спирали от центра, когда расстояние от центра растет линейно со временем (т.е. модуль средней скорости перемещения от начала движения постоянен). В этом случае мгновенная скорость (скорость пути) будет увеличиваться со временем, если есть вращательное движение, и, следовательно, будет переменной.