Номер 2.12, страница 17 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.12. Определите, целым или дробным числом является значение выражения:

а) $0,45 : 0,3^{-2}$;

б) $0,2^{-4} : 0,16$;

в) $(-1,5)^{-3} \cdot 4,5$;

г) $1,2^{-2} + 3,4^0$;

д) $-7 \cdot 0,1^{-1}$;

е) $0,5^{-2} : (-0,25)^{-1}$;

ж) $0,9^0 + (-1,1)^0$;

з) $0,25^{-2} - 0,2^{-2}$;

и) $0,01^{-3} + (-0,5)^{-3}$.

а) Чтобы определить, является ли значение выражения $0,45 : 0,3^{-2}$ целым или дробным, вычислим его. Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: $0,3^{-2} = (\frac{3}{10})^{-2} = (\frac{10}{3})^{2} = \frac{100}{9}$. Теперь выполним деление: $0,45 : \frac{100}{9} = \frac{45}{100} : \frac{100}{9} = \frac{9}{20} \cdot \frac{9}{100} = \frac{81}{2000}$. Полученное число $ \frac{81}{2000} $ (или 0,0405) является дробным.
Ответ: дробным.

б) Вычислим значение выражения $0,2^{-4} : 0,16$. Преобразуем $0,2^{-4}$: $0,2^{-4} = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 = 625$. Представим 0,16 в виде обыкновенной дроби: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$. Выполним деление: $625 : \frac{4}{25} = 625 \cdot \frac{25}{4} = \frac{15625}{4}$. Результат $ \frac{15625}{4} $ (или 3906,25) является дробным числом.
Ответ: дробным.

в) Вычислим значение выражения $(-1,5)^{-3} \cdot 4,5$. Преобразуем $(-1,5)^{-3}$: $(-1,5)^{-3} = (-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$. Представим 4,5 в виде обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{9}{2}$. Выполним умножение: $-\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 2} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = -\frac{4}{3}$. Результат $ -\frac{4}{3} $ является дробным числом.
Ответ: дробным.

г) Вычислим значение выражения $1,2^{-2} + 3,4^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, поэтому $3,4^0 = 1$. Преобразуем $1,2^{-2}$: $1,2^{-2} = (\frac{12}{10})^{-2} = (\frac{6}{5})^{-2} = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$. Выполним сложение: $\frac{25}{36} + 1 = \frac{25}{36} + \frac{36}{36} = \frac{61}{36}$. Результат $ \frac{61}{36} $ является дробным числом.
Ответ: дробным.

д) Вычислим значение выражения $-7 \cdot 0,1^{-1}$. Преобразуем $0,1^{-1}$: $0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10^1 = 10$. Выполним умножение: $-7 \cdot 10 = -70$. Результат $-70$ является целым числом.
Ответ: целым.

е) Вычислим значение выражения $0,5^{-2} : (-0,25)^{-1}$. Преобразуем $0,5^{-2}$: $0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$. Преобразуем $(-0,25)^{-1}$: $(-0,25)^{-1} = (-\frac{1}{4})^{-1} = (-4)^1 = -4$. Выполним деление: $4 : (-4) = -1$. Результат $-1$ является целым числом.
Ответ: целым.

ж) Вычислим значение выражения $0,9^0 + (-1,1)^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. $0,9^0 = 1$. $(-1,1)^0 = 1$. Выполним сложение: $1 + 1 = 2$. Результат $2$ является целым числом.
Ответ: целым.

з) Вычислим значение выражения $0,25^{-2} - 0,2^{-2}$. Преобразуем $0,25^{-2}$: $0,25^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$. Преобразуем $0,2^{-2}$: $0,2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$. Выполним вычитание: $16 - 25 = -9$. Результат $-9$ является целым числом.
Ответ: целым.

и) Вычислим значение выражения $0,01^{-3} + (-0,5)^{-3}$. Преобразуем $0,01^{-3}$: $0,01^{-3} = (\frac{1}{100})^{-3} = 100^3 = 1000000$. Преобразуем $(-0,5)^{-3}$: $(-0,5)^{-3} = (-\frac{1}{2})^{-3} = (-2)^3 = -8$. Выполним сложение: $1000000 + (-8) = 1000000 - 8 = 999992$. Результат $999992$ является целым числом.
Ответ: целым.