Номер 29.32, страница 136 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.32. Для параболы $y=-(x+4)^2-5$ укажите неверное утверждение:

а) точка с координатами $(-4; -5)$ является вершиной параболы;

б) парабола пересекает ось ординат в точке $(0; -5)$;

в) множеством значений функции является промежуток $(-\infty; -5]$;

г) функция возрастает на промежутке $(-\infty; -4]$;

д) осью симметрии параболы является прямая $x = -4$.

Для того чтобы определить неверное утверждение, последовательно проанализируем каждое из них для параболы $y = -(x + 4)^2 - 5$.

а) Проверим, является ли точка с координатами $(-4; -5)$ вершиной параболы. Уравнение параболы задано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — это координаты вершины. В нашем случае уравнение $y = -(x + 4)^2 - 5$ можно переписать как $y = -1 \cdot (x - (-4))^2 - 5$. Отсюда следует, что $h = -4$ и $k = -5$. Таким образом, вершина параболы действительно находится в точке $(-4; -5)$. Утверждение верно.

б) Проверим, пересекает ли парабола ось ординат в точке $(0; -5)$. Для нахождения точки пересечения графика с осью ординат (осью $y$) необходимо подставить $x = 0$ в уравнение функции: $y = -(0 + 4)^2 - 5 = -4^2 - 5 = -16 - 5 = -21$. Следовательно, парабола пересекает ось ординат в точке $(0; -21)$. Утверждение, что точка пересечения $(0; -5)$, является неверным.

в) Проверим, является ли промежуток $(-\infty; -5]$ множеством значений функции. Коэффициент $a$ при $(x+4)^2$ равен $-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в своей вершине функция достигает максимального значения. Ордината вершины равна $y_{вершины} = -5$, поэтому максимальное значение функции — $-5$. Соответственно, множество значений функции (область значений) — это все числа, не превосходящие $-5$, то есть промежуток $(-\infty; -5]$. Утверждение верно.

г) Проверим, возрастает ли функция на промежутке $(-\infty; -4]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке слева от оси симметрии и убывает справа от неё. Абсцисса вершины (и ось симметрии) — $x = -4$. Значит, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -4]$. Утверждение верно.

д) Проверим, является ли прямая $x = -4$ осью симметрии параболы. Осью симметрии параболы, заданной уравнением $y = a(x - h)^2 + k$, является вертикальная прямая $x = h$. Для данной параболы $h = -4$, следовательно, осью симметрии является прямая $x = -4$. Утверждение верно.

Таким образом, мы проанализировали все утверждения и установили, что единственным неверным является утверждение б).

Ответ: б