Номер 29.28, страница 135 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.28. Из данных квадратичных функций определите функцию, возрастающую на промежутке $[4; +\infty)$:

а) $f(x) = (x+4)^2 + 2;$

б) $f(x) = (x-4)^2 - 7;$

в) $f(x) = -(x+4)^2 + 5;$

г) $f(x) = -(x-4)^2 + 1.$

Для того чтобы определить, какая из предложенных квадратичных функций возрастает на промежутке $[4; +\infty)$, необходимо проанализировать каждую функцию, представленную в вершинной форме $f(x) = a(x - h)^2 + k$. В этой форме $(h, k)$ являются координатами вершины параболы, а коэффициент $a$ определяет направление её ветвей.

Основные свойства:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty, h]$ и возрастает на промежутке $[h, +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, h]$ и убывает на промежутке $[h, +\infty)$.

Нам требуется, чтобы функция возрастала на промежутке $[4; +\infty)$. Исходя из свойств выше, это означает, что нам нужна функция, у которой ветви направлены вверх ($a > 0$) и вершина находится в точке с абсциссой $h = 4$. В этом случае промежуток возрастания будет в точности $[4; +\infty)$.

а) $f(x) = (x + 4)^2 + 2$

Эту функцию можно записать как $f(x) = 1 \cdot (x - (-4))^2 + 2$. Здесь коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины $h = -4$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-4; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-4; +\infty)$.

б) $f(x) = (x - 4)^2 - 7$

Эту функцию можно записать как $f(x) = 1 \cdot (x - 4)^2 - 7$. Здесь коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины $h = 4$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[4; +\infty)$. Это в точности совпадает с условием задачи.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

в) $f(x) = -(x + 4)^2 + 5$

Эту функцию можно записать как $f(x) = -1 \cdot (x - (-4))^2 + 5$. Здесь коэффициент $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины $h = -4$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[-4; +\infty)$ и, соответственно, на промежутке $[4; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $[-4; +\infty)$.

г) $f(x) = -(x - 4)^2 + 1$

Эту функцию можно записать как $f(x) = -1 \cdot (x - 4)^2 + 1$. Здесь коэффициент $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины $h = 4$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[4; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $[4; +\infty)$.

Сравнив результаты, мы видим, что условию задачи "возрастает на промежутке $[4; +\infty)$" соответствуют две функции: а) и б). Функция а) возрастает на $[-4; +\infty)$, что включает в себя и промежуток $[4; +\infty)$. Функция б) возрастает именно на промежутке $[4; +\infty)$. В таких задачах обычно требуется найти функцию, для которой указанный промежуток является точным интервалом монотонности, начинающимся от вершины. Поэтому наиболее точным ответом является вариант б).

Ответ: б)