Номер 29.29, страница 135 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.29. Найдите промежутки монотонности квадратичной функции:

а) $y = x^2 - 10x + 3;$

б) $y = -x^2 + 6x - 5;$

в) $y = 3x^2 + 18x - 1;$

г) $y = -5x^2 - 10x + 1;$

д) $y = 14x^2 - 7x;$

е) $y = -3x^2 + 1.$

Промежутки монотонности квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ зависят от знака коэффициента $a$ и абсциссы вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0; +\infty)$.

а) $y = x^2 - 10x + 3$

Для данной функции $a = 1$, $b = -10$. Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 5]$ и возрастает на промежутке $[5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 5]$.

б) $y = -x^2 + 6x - 5$

Для данной функции $a = -1$, $b = 6$. Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.

в) $y = 3x^2 + 18x - 1$

Для данной функции $a = 3$, $b = 18$. Поскольку $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.

г) $y = -5x^2 - 10x + 1$

Для данной функции $a = -5$, $b = -10$. Поскольку $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{-10}{-10} = -1$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; +\infty)$.

д) $y = 14x^2 - 7x$

Для данной функции $a = 14$, $b = -7$. Поскольку $a = 14 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 14} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

е) $y = -3x^2 + 1$

Для данной функции $a = -3$, $b = 0$. Поскольку $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем абсциссу вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.