Номер 26.3, страница 125 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.3. Убедитесь, что уравнение имеет корни и, не решая уравнение, определите знаки его корней:

а) $x^2 - 9x + 2 = 0;$

б) $x^2 - 13x - 7 = 0;$

в) $x^2 + 11x + 3 = 0;$

г) $x^2 + 4x - 2 = 0;$

д) $5x^2 - 9x + 1 = 0;$

е) $3x^2 - x - 1 = 0.$

Для того чтобы убедиться, что уравнение имеет корни, и определить их знаки, не решая его, мы будем использовать два основных инструмента для квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Наличие действительных корней. Мы вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни. Если $D > 0$, то корней два, если $D=0$, то корень один. Отметим, что если произведение $a \cdot c < 0$, то $-4ac$ будет положительным, и, следовательно, $D$ всегда будет больше нуля, что гарантирует наличие двух различных корней.
2. Знаки корней. Мы воспользуемся теоремой Виета, согласно которой для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения:
   • $x_1 + x_2 = -b/a$ (сумма корней)
   • $x_1 \cdot x_2 = c/a$ (произведение корней)
   Знак произведения корней говорит нам, одинаковые у них знаки или разные.
   • Если $x_1 \cdot x_2 > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Чтобы определить, какой именно, смотрим на знак их суммы $x_1 + x_2$. Если сумма положительна, оба корня положительны. Если сумма отрицательна, оба корня отрицательны.
   • Если $x_1 \cdot x_2 < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

а) $x^2 - 9x + 2 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -9$, $c = 2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 2/1 = 2$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-9)/1 = 9$.
Так как произведение корней положительно ($2 > 0$), они имеют одинаковый знак. Так как их сумма положительна ($9 > 0$), оба корня являются положительными.

Ответ: оба корня положительные.

б) $x^2 - 13x - 7 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -13$, $c = -7$.
Произведение $a \cdot c = 1 \cdot (-7) = -7 < 0$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что дискриминант $D$ положителен, и уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -7/1 = -7$.
Поскольку произведение корней отрицательно ($-7 < 0$), корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

Ответ: корни имеют разные знаки.

в) $x^2 + 11x + 3 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 11$, $c = 3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 121 - 12 = 109$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 3/1 = 3$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -11/1 = -11$.
Так как произведение корней положительно ($3 > 0$), они имеют одинаковый знак. Так как их сумма отрицательна ($-11 < 0$), оба корня являются отрицательными.

Ответ: оба корня отрицательные.

г) $x^2 + 4x - 2 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = -2$.
Произведение $a \cdot c = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -2/1 = -2$.
Поскольку произведение корней отрицательно ($-2 < 0$), корни имеют разные знаки.

Ответ: корни имеют разные знаки.

д) $5x^2 - 9x + 1 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 5$, $b = -9$, $c = 1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 81 - 20 = 61$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1/5$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -(-9)/5 = 9/5$.
Так как произведение корней положительно ($1/5 > 0$), они имеют одинаковый знак. Так как их сумма положительна ($9/5 > 0$), оба корня являются положительными.

Ответ: оба корня положительные.

е) $3x^2 - x - 1 = 0$

1. Проверка наличия корней.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -1$.
Произведение $a \cdot c = 3 \cdot (-1) = -3 < 0$, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = -1/3$.
Поскольку произведение корней отрицательно ($-1/3 < 0$), корни имеют разные знаки.

Ответ: корни имеют разные знаки.