Номер 26.1, страница 124 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.1. Используя теорему, обратную теореме Виета, проверь-те, являются ли корнями уравнения:

а) $x^2 - 7x + 6 = 0$ числа 1 и 6;

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$ числа 3 и 5;

в) $x^2 - x - 20 = 0$ числа 5 и -4;

г) $x^2 + 2x - 8 = 0$ числа 2 и -4.

Теорема, обратная теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ гласит: если существуют два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

а) Проверим, являются ли числа 1 и 6 корнями уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициент при $x$ (обозначим его $p$) равен $-7$, а свободный член (обозначим его $q$) равен $6$.
Согласно теореме, обратной теореме Виета, нам нужно проверить два условия:
1. Сумма предполагаемых корней должна быть равна $-p$: $1 + 6 = 7$.
Значение $-p$ в нашем уравнении: $-(-7) = 7$.
Первое условие выполняется: $7 = 7$.
2. Произведение предполагаемых корней должно быть равно $q$: $1 \cdot 6 = 6$.
Значение $q$ в нашем уравнении: $6$.
Второе условие выполняется: $6 = 6$.
Поскольку оба условия выполнены, числа 1 и 6 действительно являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.

б) Проверим, являются ли числа 3 и 5 корнями уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.
В этом уравнении $p = 8$ и $q = 15$.
Проверим условия:
1. Сумма корней: $3 + 5 = 8$.
Проверяем равенство $x_1 + x_2 = -p$: $8 = -8$. Это равенство неверно.
Так как первое условие не выполняется, можно заключить, что числа 3 и 5 не являются корнями этого уравнения.
Ответ: нет, не являются.

в) Проверим, являются ли числа 5 и -4 корнями уравнения $x^2 - x - 20 = 0$.
В этом уравнении $p = -1$ и $q = -20$.
Проверим условия:
1. Сумма корней: $5 + (-4) = 1$.
Проверяем равенство $x_1 + x_2 = -p$: $1 = -(-1)$, что равно $1 = 1$. Условие выполняется.
2. Произведение корней: $5 \cdot (-4) = -20$.
Проверяем равенство $x_1 \cdot x_2 = q$: $-20 = -20$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, числа 5 и -4 являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.

г) Проверим, являются ли числа 2 и -4 корнями уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
В этом уравнении $p = 2$ и $q = -8$.
Проверим условия:
1. Сумма корней: $2 + (-4) = -2$.
Проверяем равенство $x_1 + x_2 = -p$: $-2 = -2$. Условие выполняется.
2. Произведение корней: $2 \cdot (-4) = -8$.
Проверяем равенство $x_1 \cdot x_2 = q$: $-8 = -8$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, числа 2 и -4 являются корнями данного уравнения.
Ответ: да, являются.