Номер 40.5, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.5. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что:

a) $b_1 = 10, q = 2;$

б) $b_1 = -12, q = -2.$

а)

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

В данном случае нам даны: первый член $b_1 = 10$, знаменатель $q = 2$. Требуется найти сумму первых четырех членов, то есть $n = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{10 \cdot (2^4 - 1)}{2 - 1}$

Теперь выполним вычисления:

$S_4 = \frac{10 \cdot (16 - 1)}{1} = \frac{10 \cdot 15}{1} = 150$

Таким образом, сумма первых четырех членов прогрессии равна 150.

Ответ: 150

б)

Мы используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В этом случае нам даны: первый член $b_1 = -12$, знаменатель $q = -2$. Требуется найти сумму первых четырех членов, то есть $n = 4$.

Подставим значения в формулу:

$S_4 = \frac{-12 \cdot ((-2)^4 - 1)}{-2 - 1}$

Выполним вычисления. Обратите внимание на степень отрицательного числа:

$(-2)^4 = 16$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_4 = \frac{-12 \cdot (16 - 1)}{-3} = \frac{-12 \cdot 15}{-3}$

$S_4 = \frac{-180}{-3} = 60$

Таким образом, сумма первых четырех членов данной прогрессии равна 60.

Ответ: 60