Номер 39.48, страница 199 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.48*. Выберите одну из возможных формул n-го члена последовательности $ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}, \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}, \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 8}, \ldots $:

а) $ \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+2)}; $

б) $ \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n+2)(2n+4)}; $

в) $ \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(n+1)}; $

г) $ \frac{4n^2 - 1}{4n(n+1)}. $

Чтобы выбрать правильную формулу $n$-го члена последовательности, обозначим его как $a_n$. Подставим значения $n=1, 2, 3, \dots$ в каждую из предложенных формул и сравним результаты с соответствующими членами заданной последовательности.

Заданная последовательность: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}, \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}, \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 8}, \dots$

Вычислим первые три члена:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

При $n=2$: $a_2 = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

При $n=3$: $a_3 = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 8} = \frac{35}{48}$

Теперь проверим каждую из предложенных формул.

а) $a_n = \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+2)}$

Подставим $n=1$: $a_1 = \frac{(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 2)}{(1+1)(1+2)} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$. Так как $2 \ne \frac{3}{8}$, эта формула неверна.

Ответ: неверно.

б) $a_n = \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n+2)(2n+4)}$

Подставим $n=1$: $a_1 = \frac{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 - 3)}{(2 \cdot 1 + 2)(2 \cdot 1 + 4)} = \frac{1 \cdot (-1)}{4 \cdot 6} = -\frac{1}{24}$. Так как $-\frac{1}{24} \ne \frac{3}{8}$, эта формула неверна.

Ответ: неверно.

в) $a_n = \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(n+1)}$

Подставим $n=1$: $a_1 = \frac{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{2 \cdot 1(1+1)} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$. Так как $\frac{3}{4} \ne \frac{3}{8}$, эта формула неверна.

Ответ: неверно.

г) $a_n = \frac{4n^2-1}{4n(n+1)}$

Сначала преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов: $4n^2-1 = (2n)^2-1^2 = (2n-1)(2n+1)$. Формула принимает вид: $a_n = \frac{(2n-1)(2n+1)}{4n(n+1)}$. Теперь проверим её, подставляя значения $n$.

При $n=1$: $a_1 = \frac{(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{4 \cdot 1(1+1)} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$. Результат совпадает с первым членом последовательности.

При $n=2$: $a_2 = \frac{(2 \cdot 2 - 1)(2 \cdot 2 + 1)}{4 \cdot 2(2+1)} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$. Результат совпадает со вторым членом последовательности.

При $n=3$: $a_3 = \frac{(2 \cdot 3 - 1)(2 \cdot 3 + 1)}{4 \cdot 3(3+1)} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 4} = \frac{35}{48}$. Результат совпадает с третьим членом последовательности.

Эта формула является правильной. Для подтверждения выведем формулу общего члена последовательности.

Числитель $n$-го члена представляет собой произведение двух множителей. Последовательность первых множителей $1, 3, 5, \dots$ задается формулой $2n-1$. Последовательность вторых множителей $3, 5, 7, \dots$ задается формулой $2n+1$. Таким образом, числитель равен $(2n-1)(2n+1)$.

Знаменатель $n$-го члена также является произведением. Последовательность первых множителей $2, 4, 6, \dots$ задается формулой $2n$. Последовательность вторых множителей $4, 6, 8, \dots$ задается формулой $2n+2$. Таким образом, знаменатель равен $2n(2n+2) = 4n(n+1)$.

Собирая все вместе, получаем формулу $n$-го члена: $a_n = \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(2n+2)} = \frac{(2n-1)(2n+1)}{4n(n+1)} = \frac{4n^2-1}{4n(n+1)}$.

Это полностью совпадает с проверяемой формулой.

Ответ: верно.