Номер 40.8, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.8. В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{11} = 9$, $b_{13} = 25$.

Найдите двенадцатый член этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. По условию, нам известны одиннадцатый и тринадцатый члены прогрессии: $b_{11} = 9$ и $b_{13} = 25$. Требуется найти двенадцатый член $b_{12}$.

Для решения этой задачи можно воспользоваться характеристическим свойством геометрической прогрессии. Оно гласит, что квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов. В данном случае, члены $b_{11}$, $b_{12}$ и $b_{13}$ являются тремя последовательными членами, поэтому для них справедливо следующее равенство:$b_{12}^2 = b_{11} \cdot b_{13}$

Подставим в эту формулу известные значения $b_{11} = 9$ и $b_{13} = 25$:$b_{12}^2 = 9 \cdot 25$$b_{12}^2 = 225$

Теперь, чтобы найти $b_{12}$, необходимо извлечь квадратный корень из 225. Важно учесть, что у этого уравнения есть два решения — положительное и отрицательное.$b_{12} = \pm \sqrt{225}$$b_{12} = \pm 15$

Это означает, что существует две возможные прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи, которые отличаются знаком знаменателя $q$.

Мы можем проверить это, найдя знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$:$b_{13} = b_{11} \cdot q^{13-11}$$25 = 9 \cdot q^2$$q^2 = \frac{25}{9}$$q = \pm \sqrt{\frac{25}{9}} = \pm \frac{5}{3}$

Теперь найдем $b_{12}$ для каждого из возможных значений $q$, используя формулу $b_{12} = b_{11} \cdot q$:
1. Если знаменатель $q = \frac{5}{3}$, то $b_{12} = 9 \cdot \frac{5}{3} = 15$.
2. Если знаменатель $q = -\frac{5}{3}$, то $b_{12} = 9 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -15$.

Оба значения являются правильными, так как в условии задачи нет ограничений на знак знаменателя прогрессии.

Ответ: $15$; $-15$.