Номер 39.45, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.45. Последовательность $a_1; a_2; a_3; \dots$ — арифметическая прогрессия. Будет ли арифметической прогрессией последовательность:

а) $x_n = 3a_n$;

б) $x_n = 3a_n - 1$;

в) $x_n = 3a_{n+1}$;

г) $x_n = \frac{1}{2a_2+3}$?

По условию, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией. Это означает, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Обозначим эту разность (шаг прогрессии) буквой $d$. То есть, для любого натурального $n$ выполняется равенство: $a_{n+1} - a_n = d$.

Чтобы определить, является ли последовательность $x_n$ арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность $x_{n+1} - x_n$ постоянной величиной, то есть не зависит от $n$.

а) $x_n = 3a_n$

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности $x_n$:

$x_{n+1} - x_n = 3a_{n+1} - 3a_n = 3(a_{n+1} - a_n)$

Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (постоянная величина по определению арифметической прогрессии), то:

$x_{n+1} - x_n = 3d$

Разность $x_{n+1} - x_n$ является постоянной величиной, равной $3d$. Следовательно, последовательность $x_n$ является арифметической прогрессией.

Ответ: да, будет.

б) $x_n = 3a_n - 1$

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности $x_n$:

$x_{n+1} - x_n = (3a_{n+1} - 1) - (3a_n - 1) = 3a_{n+1} - 1 - 3a_n + 1 = 3a_{n+1} - 3a_n = 3(a_{n+1} - a_n)$

Используя тот факт, что $a_{n+1} - a_n = d$, получаем:

$x_{n+1} - x_n = 3d$

Разность $x_{n+1} - x_n$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $x_n$ является арифметической прогрессией.

Ответ: да, будет.

в) $x_n = 3a_{n+1}$

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности $x_n$. Для этого запишем выражения для $x_n$ и $x_{n+1}$:

$x_n = 3a_{n+1}$

$x_{n+1} = 3a_{((n+1)+1)} = 3a_{n+2}$

Теперь найдем их разность:

$x_{n+1} - x_n = 3a_{n+2} - 3a_{n+1} = 3(a_{n+2} - a_{n+1})$

По определению арифметической прогрессии, разность между $(n+2)$-м и $(n+1)$-м членами также равна шагу прогрессии $d$, то есть $a_{n+2} - a_{n+1} = d$.

$x_{n+1} - x_n = 3d$

Разность $x_{n+1} - x_n$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $x_n$ является арифметической прогрессией.

Ответ: да, будет.

г) $x_n = \frac{1}{2a_2 + 3}$

В этом случае формула для $n$-го члена последовательности $x_n$ не содержит переменную $n$. Величина $a_2$ — это второй член исходной арифметической прогрессии, то есть это конкретное число (константа), при условии что $2a_2+3 \neq 0$.

Таким образом, каждый член последовательности $x_n$ равен одному и тому же числу:

$x_1 = \frac{1}{2a_2 + 3}$, $x_2 = \frac{1}{2a_2 + 3}$, $x_3 = \frac{1}{2a_2 + 3}$, и так далее.

Такая последовательность называется постоянной (стационарной). Найдем разность между соседними членами:

$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2a_2 + 3} - \frac{1}{2a_2 + 3} = 0$

Разность постоянна и равна 0. Постоянная последовательность является частным случаем арифметической прогрессии с разностью, равной нулю. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, будет.