Номер 39.40, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.40. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5; при делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на шестой член в частном получается 2, а в остатке 5. Найдите первый член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно первому условию задачи, при делении девятого члена прогрессии ($a_9$) на второй ($a_2$) в частном получается 5. Это означает, что остаток от деления равен нулю, и мы можем записать это в виде уравнения:

$a_9 = 5 \cdot a_2$

Выразим $a_9$ и $a_2$ через $a_1$ и $d$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$a_1 + 8d = 5(a_1 + d)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a_1 + 8d = 5a_1 + 5d$

$8d - 5d = 5a_1 - a_1$

$3d = 4a_1$

Это наше первое уравнение.

Согласно второму условию, при делении тринадцатого члена ($a_{13}$) на шестой ($a_6$) в частном получается 2, а в остатке 5. Уравнение для деления с остатком выглядит так: делимое = делитель × частное + остаток. Запишем это для наших членов прогрессии:

$a_{13} = 2 \cdot a_6 + 5$

Выразим $a_{13}$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$:

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$a_1 + 12d = 2(a_1 + 5d) + 5$

Раскроем скобки и упростим:

$a_1 + 12d = 2a_1 + 10d + 5$

$12d - 10d = 2a_1 - a_1 + 5$

$2d = a_1 + 5$

Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} 3d = 4a_1 \\ 2d = a_1 + 5 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $d$ через $a_1$:

$d = \frac{4a_1}{3}$

Подставим это выражение для $d$ во второе уравнение:

$2 \left( \frac{4a_1}{3} \right) = a_1 + 5$

$\frac{8a_1}{3} = a_1 + 5$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$8a_1 = 3(a_1 + 5)$

$8a_1 = 3a_1 + 15$

$8a_1 - 3a_1 = 15$

$5a_1 = 15$

$a_1 = \frac{15}{5}$

$a_1 = 3$

Мы нашли первый член прогрессии. Задача решена. Для уверенности можно выполнить проверку, найдя $d$ и все упомянутые члены прогрессии.

$d = \frac{4a_1}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$.

$a_2 = a_1 + d = 3 + 4 = 7$.

$a_9 = a_1 + 8d = 3 + 8 \cdot 4 = 35$.

Проверка первого условия: $35 \div 7 = 5$. Верно.

$a_6 = a_1 + 5d = 3 + 5 \cdot 4 = 23$.

$a_{13} = a_1 + 12d = 3 + 12 \cdot 4 = 51$.

Проверка второго условия: $51 = 2 \cdot 23 + 5$, то есть $51 = 46 + 5$. Верно.

Ответ: 3