Номер 37.14, страница 186 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.14. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — это цифра единиц. При этом $x$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $y$ — от 0 до 9.

По условию задачи, сумма квадратов цифр этого числа равна 13. Составим первое уравнение:

$x^2 + y^2 = 13$

Также по условию, если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, — это $10y + x$. Составим второе уравнение:

$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ 10x + y - 9 = 10y + x \end{cases}$

Упростим второе уравнение системы:

$10x - x + y - 10y = 9$

$9x - 9y = 9$

Разделим обе части уравнения на 9:

$x - y = 1$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы ($x^2 + y^2 = 13$):

$(y + 1)^2 + y^2 = 13$

Раскроем скобки и решим получившееся квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$

$2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0$

$2y^2 + 2y - 12 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$y^2 + y - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а их сумма равна -1. Легко подобрать корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Значит, нам подходит только один корень: $y = 2$.

Теперь найдем значение $x$, используя соотношение $x = y + 1$:

$x = 2 + 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков $x=3$, а цифра единиц $y=2$. Исходное число — 32.

Проверим результат:

1. Сумма квадратов цифр: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Верно.
2. Если отнять 9: $32 - 9 = 23$. Число 23 состоит из тех же цифр, что и 32, но в обратном порядке. Верно.

Ответ: 32.