Номер 37.21, страница 187 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.21. Определите координаты точек пересечения окружности $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$ и прямой $y = x$.

Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой.

Система уравнений:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-2)^2 = 25 \\ y=x \end{cases} $

Поскольку точки пересечения принадлежат и окружности, и прямой, их координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$(x-3)^2 + (x-2)^2 = 25$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x^2 - 10x + 13 = 25$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 10x + 13 - 25 = 0$

$2x^2 - 10x - 12 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для его упрощения:

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы ($x$) точек пересечения. Так как по условию $y=x$, ординаты ($y$) будут иметь те же значения.

Для $x_1 = 6$, получаем $y_1 = 6$. Координаты первой точки пересечения — $(6, 6)$.

Для $x_2 = -1$, получаем $y_2 = -1$. Координаты второй точки пересечения — $(-1, -1)$.

Ответ: $(6, 6)$ и $(-1, -1)$.