Номер 37.7, страница 185 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.7. Выберите системы уравнений, которые являются равносильными:

a) $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x = 3y, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 0, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} x = y, \\ x + y = 5 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + y = 5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x^2 = 8, \\ x + y = 5 \end{cases}$.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Проанализируем каждую пару систем.

а) Рассмотрим первую систему уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $ и вторую систему: $ \begin{cases} 2x = 3y \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $

Первое уравнение первой системы $2x - 3y = 0$ равносильно первому уравнению второй системы $2x = 3y$. Второе уравнение получается из первого путем переноса слагаемого $-3y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком, что является равносильным преобразованием. Второе уравнение $x^2 - y^2 = 5$ в обеих системах идентично. Так как обе системы состоят из равносильных уравнений, то и сами системы являются равносильными.

Ответ: системы являются равносильными.

б) Рассмотрим первую систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 0 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $ и вторую систему: $ \begin{cases} x = y \\ x + y = 5 \end{cases} $

Преобразуем первую систему. Из первого уравнения $x - y = 0$ следует, что $x = y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x^2 - x^2 = 5$, что приводит к неверному равенству $0 = 5$. Это означает, что первая система не имеет решений.

Теперь решим вторую систему. Подставив первое уравнение $x = y$ во второе $x + y = 5$, получим: $y + y = 5$, откуда $2y = 5$ и $y = 2.5$. Следовательно, $x = 2.5$. Вторая система имеет единственное решение $(2.5; 2.5)$.

Поскольку у первой системы нет решений, а у второй есть, множества их решений не совпадают. Следовательно, системы не являются равносильными.

Ответ: системы не являются равносильными.

в) Рассмотрим первую систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $ и вторую систему: $ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение первой системы: $x^2 - y^2 = 5$. Используя формулу разности квадратов, его можно записать в виде $(x - y)(x + y) = 5$. Поскольку из первого уравнения системы известно, что $x - y = 1$ (и это значение не равно нулю), мы можем разделить обе части уравнения $(x-y)(x+y)=5$ на $(x-y)$. Получим: $x+y = 5/1 = 5$.

Таким образом, первая система равносильна системе: $ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $ что в точности совпадает со второй системой. Поскольку одна система получена из другой с помощью равносильных преобразований, они равносильны.

Ответ: системы являются равносильными.

г) Рассмотрим первую систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 3 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $ и вторую систему: $ \begin{cases} 2x^2 = 8 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Решим первую систему. Сложим два уравнения: $(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 3 + 5$, что дает $2x^2 = 8$, или $x^2 = 4$. Теперь вычтем второе уравнение из первого: $(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 3 - 5$, что дает $2y^2 = -2$, или $y^2 = -1$. Уравнение $y^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, следовательно, первая система не имеет действительных решений.

Теперь решим вторую систему. Из первого уравнения $2x^2 = 8$ получаем $x^2 = 4$, откуда $x=2$ или $x=-2$.
Если $x=2$, то из второго уравнения $x + y = 5$ получаем $2 + y = 5$, откуда $y=3$. Решение: $(2, 3)$.
Если $x=-2$, то из второго уравнения $-2 + y = 5$ получаем $y=7$. Решение: $(-2, 7)$.

Вторая система имеет два действительных решения. Поскольку множества решений систем не совпадают, они не являются равносильными.

Ответ: системы не являются равносильными.