Номер 35.36, страница 177 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.36. Функция $y = f(x)$ на промежутке $[9; +\infty)$ возрастает, а на промежутке $(-\infty; 9]$ убывает. Найдите промежуток убывания функции:

а) $y = f(x + 3);$

б) $y = f(x) - 2;$

в) $y = f(x - 5);$

г) $y = f(x + 3) - 1.$

По условию задачи, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty; 9]$ и возрастает на промежутке $[9; +\infty)$. Это означает, что точка $x=9$ является точкой минимума.

Промежуток убывания функции определяется значениями аргумента $x$. Преобразования функции вида $y = f(x \pm a) \pm b$ влияют на эти промежутки следующим образом:

• Преобразование аргумента $f(x \pm a)$ соответствует горизонтальному сдвигу графика. Сдвиг на $a$ единиц влево (для $f(x+a)$) или вправо (для $f(x-a)$) смещает и промежутки монотонности.
• Преобразование значения функции $f(x) \pm b$ соответствует вертикальному сдвигу графика. Такой сдвиг не влияет на промежутки возрастания и убывания.

Исходный промежуток убывания для $f(x)$ задан условием $x \le 9$. Для нахождения промежутка убывания преобразованной функции, мы должны найти, при каких значениях $x$ аргумент функции $f$ попадает в этот промежуток.

а) $y = f(x+3)$

График этой функции получен сдвигом графика $y=f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Соответственно, промежуток убывания также сдвигается на 3 единицы влево.
Чтобы найти новый промежуток убывания, нужно, чтобы аргумент функции, то есть $(x+3)$, находился в промежутке убывания исходной функции:
$x+3 \le 9$
$x \le 9 - 3$
$x \le 6$
Следовательно, функция $y = f(x+3)$ убывает на промежутке $(-\infty; 6]$.
Ответ: $(-\infty; 6]$

б) $y = f(x) - 2$

График этой функции получен сдвигом графика $y=f(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вертикальный сдвиг не изменяет промежутков монотонности функции.
Поэтому промежуток убывания функции $y = f(x) - 2$ совпадает с промежутком убывания функции $y = f(x)$.
Ответ: $(-\infty; 9]$

в) $y = f(x-5)$

График этой функции получен сдвигом графика $y=f(x)$ на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Промежуток убывания сдвигается на 5 единиц вправо.
Аргумент функции $(x-5)$ должен принадлежать промежутку убывания исходной функции:
$x-5 \le 9$
$x \le 9 + 5$
$x \le 14$
Следовательно, функция $y = f(x-5)$ убывает на промежутке $(-\infty; 14]$.
Ответ: $(-\infty; 14]$

г) $y = f(x+3) - 1$

Это преобразование включает в себя горизонтальный сдвиг на 3 единицы влево (из-за $x+3$) и вертикальный сдвиг на 1 единицу вниз (из-за $-1$).
На промежуток убывания влияет только горизонтальный сдвиг. Вертикальный сдвиг не оказывает влияния. Поэтому задача сводится к случаю а).
Аргумент функции $(x+3)$ должен принадлежать промежутку убывания исходной функции:
$x+3 \le 9$
$x \le 6$
Следовательно, функция $y = f(x+3) - 1$ убывает на промежутке $(-\infty; 6]$.
Ответ: $(-\infty; 6]$