Номер 36.2, страница 178 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.2. Решите уравнение, используя условие равенства дроби нулю:

а) $\frac{2x+9}{x-3}=0;$

б) $\frac{2x-6}{x-3}=0;$

в) $\frac{x^2-16}{x-4}=0;$

г) $\frac{x^2-36}{x+6}=0.$

а)

Дано уравнение $\frac{2x+9}{x-3} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 2x + 9 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$2x + 9 = 0$

$2x = -9$

$x = -4.5$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы:

$x - 3 \neq 0$

Подставим $x = -4.5$:

$-4.5 - 3 \neq 0$

$-7.5 \neq 0$

Условие выполняется, следовательно, $x = -4.5$ является решением уравнения.

Ответ: $-4.5$

б)

Дано уравнение $\frac{2x-6}{x-3} = 0$.

Составим систему в соответствии с условием равенства дроби нулю:

$\begin{cases} 2x - 6 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию $x \neq 3$:

Подставим $x = 3$:

$3 \neq 3$

Это неверное утверждение. Значит, найденный корень $x=3$ не удовлетворяет области допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль.

Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет

в)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} x^2 - 16 = 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Это разность квадратов:

$x^2 - 16 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 4$ или $x_2 = -4$.

Теперь проверим каждый корень на соответствие второму условию системы $x \neq 4$.

Для $x_1 = 4$: условие $4 \neq 4$ не выполняется. Значит, $x=4$ является посторонним корнем.

Для $x_2 = -4$: условие $-4 \neq 4$ выполняется. Значит, $x = -4$ является решением уравнения.

Ответ: $-4$

г)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 36}{x + 6} = 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x + 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Это разность квадратов:

$x^2 - 36 = 0$

$(x - 6)(x + 6) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 6$ или $x_2 = -6$.

Теперь проверим каждый корень на соответствие второму условию системы $x \neq -6$.

Для $x_1 = 6$: условие $6 \neq -6$ выполняется. Значит, $x = 6$ является решением уравнения.

Для $x_2 = -6$: условие $-6 \neq -6$ не выполняется. Значит, $x=-6$ является посторонним корнем.

Ответ: $6$