Номер 9, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.9. Найдите область определения функции

$y = \frac{x+3}{\sqrt{|4x+1|}-5} - \sqrt[4]{2x^2-x+3}$

Область определения функции $y = \frac{x+3}{\sqrt{|4x+1|}-5} - \sqrt[4]{2x^2 - x + 3}$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Для нахождения этого множества необходимо учесть все ограничения, накладываемые на переменную $x$.

Функция состоит из двух частей, и для каждой из них должны выполняться свои условия:

1. Для дроби $\frac{x+3}{\sqrt{|4x+1|}-5}$ необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю и выражение под квадратным корнем было неотрицательным.
   • Условие для подкоренного выражения: $|4x+1| \ge 0$. Это условие выполняется всегда, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.
   • Условие для знаменателя: $\sqrt{|4x+1|}-5 \neq 0$.
     Решим это неравенство:
     $\sqrt{|4x+1|} \neq 5$
     Возведя обе части в квадрат, получаем:
     $|4x+1| \neq 25$
     Это неравенство равносильно системе из двух условий:
     $4x+1 \neq 25 \implies 4x \neq 24 \implies x \neq 6$.
     $4x+1 \neq -25 \implies 4x \neq -26 \implies x \neq -\frac{26}{4} = -\frac{13}{2}$.
2. Для выражения $\sqrt[4]{2x^2 - x + 3}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как корень является корнем четной степени (четвертой).
   • Условие: $2x^2 - x + 3 \ge 0$.
     Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = 2x^2 - x + 3$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0).
     Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x + 3 = 0$:
     $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.
     Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, а так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что выражение $2x^2 - x + 3$ всегда положительно для всех действительных значений $x$.

Собирая все условия вместе, мы видим, что переменная $x$ может принимать любые действительные значения, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. То есть, $x \neq 6$ и $x \neq -\frac{13}{2}$.

Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $-\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2}$.

Ответ: $(-\infty; -6\frac{1}{2}) \cup (-6\frac{1}{2}; 6) \cup (6; +\infty)$.