Номер 4, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.4. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} x^2 - 25 \ge 0, \\ x^2 + 6x - 27 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 > 9, \\ x^2 - 4x \le 0. \end{cases} $

а) Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 25 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x - 5)(x + 5) \ge 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое, точки будут закрашенными. Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения $y \ge 0$ будут при $x$ левее корня $-5$ и правее корня $5$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 6x - 27 < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 27 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 27$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-9; 3)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-9; 3)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал, в котором выполняются оба условия. На числовой оси это будет промежуток от $-9$ (не включая) до $-5$ (включая).

Ответ: $(-9; -5]$.

б) Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $x^2 > 9$.

Перенесем 9 в левую часть: $x^2 - 9 > 0$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x \le 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in [0; 4]$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in [0; 4]$.

Пересечением этих двух множеств является промежуток, где выполняются оба условия. Сравнивая множества, видим, что общие значения находятся в интервале от $3$ (не включая) до $4$ (включая).

Ответ: $(3; 4]$.