Номер 9, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.9. Найдите все корни уравнения:

a) $log_2^2(-x) - 3\log_2(-x) - 4 = 0;$

б) $\lg^2(-x) - \lg(-x) - 2 = 0.$

а) $\log_2^2(-x) - 3\log_2(-x) - 4 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$-x > 0$
$x < 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_2(-x)$. Для решения введем новую переменную.
Пусть $t = \log_2(-x)$. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. $\log_2(-x) = 4$
   Из определения логарифма следует:
   $-x = 2^4$
   $-x = 16$
   $x_1 = -16$
   Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
2. $\log_2(-x) = -1$
   Из определения логарифма следует:
   $-x = 2^{-1}$
   $-x = \frac{1}{2}$
   $x_2 = -\frac{1}{2}$
   Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: -16; $-\frac{1}{2}$

б) $\lg^2(-x) - \lg(-x) - 2 = 0$

ОДЗ: $-x > 0$, что означает $x < 0$.
Напомним, что $\lg(a)$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10}(a)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg(-x)$. Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg(-x) = 2$
   По определению десятичного логарифма:
   $-x = 10^2$
   $-x = 100$
   $x_1 = -100$
   Корень $x_1 = -100$ удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).
2. $\lg(-x) = -1$
   По определению десятичного логарифма:
   $-x = 10^{-1}$
   $-x = \frac{1}{10}$
   $x_2 = -\frac{1}{10}$
   Корень $x_2 = -1/10$ также удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: -100; $-\frac{1}{10}$