Номер 5, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.5. Решите уравнение:

а) $log_2 \sin x = -1;$

б) $\lg \cos x = 0;$

в) $log_{\sqrt{3}} \operatorname{tg} x = -1;$

г) $log_3 \operatorname{ctg} x = \frac{1}{2}.$

а) $ \log_2 \sin x = -1 $

По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению:

$ \sin x = 2^{-1} $

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения: $ \sin x > 0 $. Условие $ \sin x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Эту общую формулу можно представить в виде двух серий решений:

$ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \lg \cos x = 0 $

Десятичный логарифм $ \lg A $ — это $ \log_{10} A $. По определению логарифма:

$ \cos x = 10^0 $

$ \cos x = 1 $

ОДЗ: $ \cos x > 0 $. Условие $ \cos x = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение (частный случай):

$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \log_{\sqrt{3}} \tg x = -1 $

По определению логарифма, уравнение равносильно:

$ \tg x = (\sqrt{3})^{-1} $

$ \tg x = \frac{1}{\sqrt{3}} $

ОДЗ: $ \tg x > 0 $. Условие $ \tg x = \frac{1}{\sqrt{3}} $ удовлетворяет ОДЗ.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \log_3 \ctg x = \frac{1}{2} $

По определению логарифма, уравнение равносильно:

$ \ctg x = 3^{\frac{1}{2}} $

$ \ctg x = \sqrt{3} $

ОДЗ: $ \ctg x > 0 $. Условие $ \ctg x = \sqrt{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$ x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.