Номер 2, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.2. Найдите нули функции:

а) $f(x) = \log_3 (x^2 - x + 1);$

б) $f(x) = \log_2 (x^2 - x).$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

а) Для функции $f(x) = \log_3(x^2 - x + 1)$ решаем уравнение $f(x)=0$:

$\log_3(x^2 - x + 1) = 0$

По определению логарифма ($b = a^c \iff \log_a b = c$):

$x^2 - x + 1 = 3^0$

$x^2 - x + 1 = 1$

$x^2 - x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Проверим область определения: аргумент логарифма $x^2 - x + 1$ должен быть строго больше нуля. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда больше нуля. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, и оба найденных корня являются нулями функции.

Ответ: 0, 1.

б) Для функции $f(x) = \log_2(x^2 - x)$ решаем уравнение $f(x)=0$:

$\log_2(x^2 - x) = 0$

Сначала найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - x > 0 \implies x(x - 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:

$x^2 - x = 2^0$

$x^2 - x = 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это уравнение, используя квадратичную формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим, входят ли эти значения в область определения. Используя приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

• $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$. Это значение находится в интервале $(-\infty, 0)$, поэтому оно является нулем функции.
• $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$. Это значение находится в интервале $(1, +\infty)$, поэтому оно также является нулем функции.

Оба корня принадлежат области определения функции.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.