Номер 29, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.29. Найдите значение выражения $log_a b$, если известно, что

$log_{a^3b}^2 (ab^3) = 9.$

Для решения задачи введем замену. Пусть искомое значение $ \log_a b = x $. Наша цель — найти $x$.

Исходное уравнение:

$$ \log_{a^3b}^2 (ab^3) = 9 $$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, мы получаем два возможных случая:

$$ \log_{a^3b} (ab^3) = 3 \quad \text{или} \quad \log_{a^3b} (ab^3) = -3 $$

Для дальнейшего решения преобразуем логарифм, приведя его к основанию $a$ с помощью формулы перехода к новому основанию $ \log_c d = \frac{\log_k d}{\log_k c} $:

$$ \log_{a^3b} (ab^3) = \frac{\log_a (ab^3)}{\log_a (a^3b)} $$

Теперь упростим числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов ($\log_k(mn) = \log_k m + \log_k n$ и $\log_k(m^p) = p \log_k m$):

• Числитель: $ \log_a(ab^3) = \log_a a + \log_a b^3 = 1 + 3\log_a b = 1 + 3x $
• Знаменатель: $ \log_a(a^3b) = \log_a a^3 + \log_a b = 3\log_a a + \log_a b = 3 + x $

Таким образом, наше выражение принимает вид:

$$ \frac{1+3x}{3+x} $$

Теперь рассмотрим оба случая:

Случай 1:

$$ \frac{1+3x}{3+x} = 3 $$

$$ 1 + 3x = 3(3+x) $$

$$ 1 + 3x = 9 + 3x $$

$$ 1 = 9 $$

Получено неверное равенство, следовательно, данный случай не дает решений.

Случай 2:

$$ \frac{1+3x}{3+x} = -3 $$

$$ 1 + 3x = -3(3+x) $$

$$ 1 + 3x = -9 - 3x $$

$$ 6x = -10 $$

$$ x = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} $$

Это и есть искомое значение выражения $ \log_a b $. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$$ -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} $$

Найдите значение выражения $\log_a b$, если известно, что $\log_{a^3b}^2 (ab^3) = 9$. Ответ: $ -\mathbf{1}\frac{2}{3} $