Номер 10, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.10. Найдите сумму целых решений неравенства

$\left(\text{tg}\frac{\pi}{35}\right)^{3x^2} - \frac{1}{\left(\text{tg}\frac{\pi}{35}\right)^{15-18x}} \ge 0.$

1. Преобразование исходного неравенства

Исходное неравенство имеет вид:

$$ \left(\tg \frac{\pi}{35}\right)^{3x^2} - \frac{1}{\left(\tg \frac{\pi}{35}\right)^{15-18x}} \ge 0 $$

Введем обозначение $ a = \tg \frac{\pi}{35} $. Тогда неравенство можно переписать как:

$$ a^{3x^2} - \frac{1}{a^{15-18x}} \ge 0 $$

Используя свойство степени $ \frac{1}{b^n} = b^{-n} $, преобразуем второй член:

$$ a^{3x^2} - a^{-(15-18x)} \ge 0 $$

$$ a^{3x^2} - a^{18x-15} \ge 0 $$

Перенесем второй член в правую часть неравенства:

$$ a^{3x^2} \ge a^{18x-15} $$

Ответ: Неравенство приведено к виду $ \left(\tg \frac{\pi}{35}\right)^{3x^2} \ge \left(\tg \frac{\pi}{35}\right)^{18x-15} $.

2. Анализ основания показательной функции

Основанием степени является $ a = \tg \frac{\pi}{35} $. Необходимо оценить его значение.

Рассмотрим аргумент тангенса $ \frac{\pi}{35} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $:

$$ 0 < \frac{\pi}{35} < \frac{\pi}{4} $$

Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $. Поскольку $ \tg(0) = 0 $ и $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то для нашего аргумента выполняется неравенство:

$$ \tg(0) < \tg\left(\frac{\pi}{35}\right) < \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) $$

$$ 0 < \tg\left(\frac{\pi}{35}\right) < 1 $$

Ответ: Основание степени $ a = \tg \frac{\pi}{35} $ удовлетворяет условию $ 0 < a < 1 $.

3. Решение неравенства для показателей степени

Так как основание степени $ a $ находится в интервале $ (0, 1) $, то показательная функция $ y = a^t $ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$ 3x^2 \le 18x - 15 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$$ 3x^2 - 18x + 15 \le 0 $$

Разделим обе части неравенства на 3:

$$ x^2 - 6x + 5 \le 0 $$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2 - 6x + 5 = 0 $. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 5 $.

Графиком функции $ y = x^2 - 6x + 5 $ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $ y \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: Решением неравенства является промежуток $ x \in [1, 5] $.

4. Нахождение суммы целых решений

Согласно условию, требуется найти сумму целых решений неравенства. Целыми числами, принадлежащими отрезку $ [1, 5] $, являются:

$$ 1, 2, 3, 4, 5 $$

Вычислим их сумму:

$$ S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $$

Ответ: 15.