Номер 22.12, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.12. Решите уравнение $2x\sqrt{7x+18} = x^2+7x+18.$

Данное уравнение $2x\sqrt{7x+18} = x^2+7x+18$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным:

$7x+18 \ge 0$

$7x \ge -18$

$x \ge -\frac{18}{7}$

Рассмотрим правую часть уравнения: $x^2+7x+18$. Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 49 - 72 = -23$. Поскольку дискриминант отрицательный, выражение $x^2+7x+18$ всегда положительно при любых значениях $x$.

Так как правая часть уравнения всегда положительна, левая часть $2x\sqrt{7x+18}$ также должна быть положительной. Поскольку $\sqrt{7x+18} \ge 0$, это накладывает условие на $x$:

$2x > 0 \implies x > 0$

Объединяя условия $x \ge -\frac{18}{7}$ и $x > 0$, получаем окончательную ОДЗ: $x > 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 - 2x\sqrt{7x+18} + 7x+18 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=\sqrt{7x+18}$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - \sqrt{7x+18})^2 = 0$

Это уравнение равносильно следующему:

$x - \sqrt{7x+18} = 0$

$x = \sqrt{7x+18}$

Поскольку по ОДЗ мы знаем, что $x>0$, обе части уравнения неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{7x+18})^2$

$x^2 = 7x+18$

Получаем стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x - 18 = 0$

Решим его, найдя корни. По теореме Виета (или через дискриминант):

$x_1 \cdot x_2 = -18$

$x_1 + x_2 = 7$

Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9>0$, следовательно, является решением уравнения.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2>0$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: 9