Номер 22.10, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.10. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x^2-2x-3} + \sqrt{-x^2-x} = \sqrt{x+1}$.

Для решения уравнения $\sqrt{x^2 - 2x - 3} + \sqrt{-x^2 - x} = \sqrt{x+1}$ найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - 2x - 3 \ge 0 \\-x^2 - x \ge 0 \\x + 1 \ge 0\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $-x^2 - x \ge 0$. Умножим его на -1, изменив знак: $x^2 + x \le 0$, или $x(x+1) \le 0$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решение неравенства: $x \in [-1, 0]$.

3. Решим третье неравенство $x + 1 \ge 0$, откуда получаем $x \ge -1$, то есть $x \in [-1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех полученных множеств: $( (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) ) \cap [-1, 0] \cap [-1, +\infty)$. Общим решением системы является единственная точка $x = -1$.

Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного числа. Проверим, является ли $x = -1$ корнем, подставив это значение в исходное уравнение:

$$ \sqrt{(-1)^2 - 2(-1) - 3} + \sqrt{-(-1)^2 - (-1)} = \sqrt{-1+1} $$

$$ \sqrt{1 + 2 - 3} + \sqrt{-1 + 1} = \sqrt{0} $$

$$ \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 $$

$$ 0 = 0 $$

Равенство верное, значит, $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Сумма корней (корень, если он единственный): Так как уравнение имеет только один корень, равный -1, то искомая сумма равна этому числу. Ответ: -1