Номер 22.16, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.16. Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $x^2 + x + \sqrt{x - 2} = 13.$

Рассмотрим уравнение $x^2 + x + \sqrt{x-2} = 13$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 2$.

Для решения уравнения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x-2}$.
Согласно определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Из замены выразим $x$ через $t$: $t^2 = x - 2 \implies x = t^2 + 2$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x-2}$ в исходное уравнение: $(t^2 + 2)^2 + (t^2 + 2) + t = 13$.

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение: $t^4 + 4t^2 + 4 + t^2 + 2 + t - 13 = 0$ $t^4 + 5t^2 + t - 7 = 0$.

Это уравнение четвертой степени относительно $t$. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-7), то есть среди $\pm1, \pm7$. Проверим значение $t=1$: $1^4 + 5(1)^2 + 1 - 7 = 1 + 5 + 1 - 7 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения.

Поскольку $t=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $t^4 + 5t^2 + t - 7$ на двучлен $(t-1)$ без остатка. В результате деления получим: $(t-1)(t^3 + t^2 + 6t + 7) = 0$.

Отсюда следует, что либо $t-1=0$, либо $t^3 + t^2 + 6t + 7 = 0$. 1) $t - 1 = 0 \implies t_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$. 2) $t^3 + t^2 + 6t + 7 = 0$. Проверим, есть ли у этого уравнения корни, удовлетворяющие условию $t \ge 0$. При $t \ge 0$ имеем: $t^3 \ge 0$, $t^2 \ge 0$ и $6t \ge 0$. Тогда сумма $t^3 + t^2 + 6t + 7 \ge 0 + 0 + 0 + 7 = 7$. Поскольку левая часть уравнения всегда больше или равна 7 для $t \ge 0$, уравнение $t^3 + t^2 + 6t + 7 = 0$ не имеет неотрицательных корней.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим условию $t \ge 0$, является $t=1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену: $\sqrt{x-2} = 1$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $x-2 = 1^2$ $x-2 = 1$ $x = 3$.

Найденный корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$). Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение: $3^2 + 3 + \sqrt{3-2} = 9 + 3 + \sqrt{1} = 12 + 1 = 13$. $13 = 13$. Решение верное. Уравнение имеет единственный корень.

Произведение корней: Ответ: 3.