Номер 17.8, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.8. Найдите число различных корней уравнения

$\cos x + \cos 5x = \cos 3x + \cos 7x$

на промежутке $[0; 2\pi]$.

Для решения уравнения $cosx + cos5x = cos3x + cos7x$ преобразуем обе его части, используя формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Преобразование левой части: $cosx + cos5x = 2cos\frac{x+5x}{2}cos\frac{x-5x}{2} = 2cos(3x)cos(-2x) = 2cos(3x)cos(2x)$.

Преобразование правой части: $cos3x + cos7x = 2cos\frac{3x+7x}{2}cos\frac{3x-7x}{2} = 2cos(5x)cos(-2x) = 2cos(5x)cos(2x)$.

Приравняв результаты, получим уравнение $2cos(3x)cos(2x) = 2cos(5x)cos(2x)$. Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2cos(2x)$ за скобки:

$2cos(2x)(cos(3x) - cos(5x)) = 0$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $cos(2x) = 0$ или $cos(3x) = cos(5x)$.

Решим первое уравнение $cos(2x) = 0$. Его корни $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. На промежутке $[0; 2\pi]$ находятся 4 корня этой серии: $\frac{\pi}{4}$ (при n=0), $\frac{3\pi}{4}$ (при n=1), $\frac{5\pi}{4}$ (при n=2), $\frac{7\pi}{4}$ (при n=3).

Решим второе уравнение $cos(3x) = cos(5x)$. Оно равносильно $5x = \pm 3x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В первом случае, $5x = 3x + 2\pi k$, получаем $2x = 2\pi k$ и $x = \pi k$. На промежутке $[0; 2\pi]$ это дает 3 корня: $0, \pi, 2\pi$.

Во втором случае, $5x = -3x + 2\pi k$, получаем $8x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi k}{4}$. На промежутке $[0; 2\pi]$ это дает корни: $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi$. Из них новыми, не найденными ранее, являются $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Объединяя все найденные уникальные корни ($0, \pi, 2\pi$ из первого случая; $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ из уравнения с $cos(2x)=0$; $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ из второго случая), получаем всего $3 + 4 + 2 = 9$ различных корней на заданном промежутке.

17.8. Ответ: 9