Номер 17.1, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.1. Разложите на множители сумму:

a) $\cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha$;

б) $\sin \alpha + 2\sin 5\beta + \sin 9\beta$.

а) Для того чтобы разложить на множители сумму $\cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha$, сгруппируем первый и третий члены. Это позволит нам использовать формулу суммы косинусов.

$(\cos\alpha + \cos3\alpha) + \cos2\alpha$

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $ к выражению в скобках:

$2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} + \cos2\alpha = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} + \cos2\alpha = 2\cos2\alpha\cos\alpha + \cos2\alpha$

Теперь вынесем общий множитель $\cos2\alpha$ за скобки, чтобы завершить разложение:

$\cos2\alpha(2\cos\alpha + 1)$

Ответ: $\cos2\alpha(2\cos\alpha + 1)$

б) Исходное выражение $\sin\alpha + 2\sin5\beta + \sin9\beta$ содержит разные переменные ($\alpha$ и $\beta$), что, скорее всего, является опечаткой в условии, так как в стандартных задачах такого типа переменная одна. Будем решать задачу для более вероятного варианта: $\sin\beta + 2\sin5\beta + \sin9\beta$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\sin\beta + \sin9\beta) + 2\sin5\beta$.

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$2\sin\frac{\beta+9\beta}{2}\cos\frac{9\beta-\beta}{2} + 2\sin5\beta = 2\sin\frac{10\beta}{2}\cos\frac{8\beta}{2} + 2\sin5\beta = 2\sin5\beta\cos4\beta + 2\sin5\beta$

Вынесем общий множитель $2\sin5\beta$ за скобки:

$2\sin5\beta(\cos4\beta + 1)$

Выражение в скобках можно упростить, используя формулу косинуса двойного угла, представленную в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2x$. В нашем случае $2x=4\beta$, следовательно, $x=2\beta$.

$1 + \cos4\beta = 2\cos^2(2\beta)$

Подставим полученный результат обратно в наше выражение:

$2\sin5\beta \cdot (2\cos^2(2\beta)) = 4\sin5\beta\cos^2(2\beta)$

Ответ: $4\sin5\beta\cos^2(2\beta)$