Номер 10.18, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.18. Постройте график функции:

a) $y = \sin 2x;$

б) $y = 3\cos x;$

В) $y = -\sin \frac{x}{2};$

Г) $y = \frac{1}{2}\cos \frac{x}{3};$

Д) $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)-3;$

е) $y = -2\cos \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{9}\right)+1.$

Для построения графиков данных функций используются преобразования графиков базовых тригонометрических функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Общий вид функции: $y = A \cdot f(k(x - b)) + d$.

• $|A|$ - амплитуда (растяжение/сжатие по вертикали). Если $A < 0$, происходит отражение относительно оси Ox.
• $T = \frac{T_0}{|k|}$ - период, где $T_0$ - период базовой функции ($2\pi$ для синуса и косинуса). Происходит растяжение/сжатие по горизонтали.
• $b$ - сдвиг по горизонтали (фазовый сдвиг).
• $d$ - сдвиг по вертикали.

График функции $y = \sin 2x$ строится на основе графика $y = \sin x$.

1. Берем график функции $y = \sin x$ (синусоида).
2. Сжимаем его в 2 раза вдоль оси абсцисс (Ox), так как коэффициент при $x$ равен 2.

Свойства:

• Амплитуда: $A = 1$. Множество значений $E(y) = [-1, 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:
Начало периода в точке $(0, 0)$. Максимум в точке $(\frac{\pi}{4}, 1)$. Пересечение с осью Ox в $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Минимум в точке $(\frac{3\pi}{4}, -1)$. Конец периода в точке $(\pi, 0)$. Коэффициенты при $\pi$ в абсциссах точек являются правильными дробями.

Ответ:

График функции $y = 3\cos x$ строится на основе графика $y = \cos x$.

1. Берем график функции $y = \cos x$ (косинусоида).
2. Растягиваем его в 3 раза вдоль оси ординат (Oy), так как коэффициент перед косинусом равен 3.

Свойства:

• Амплитуда: $A = 3$. Множество значений $E(y) = [-3, 3]$.
• Период: $T = 2\pi$ (не изменяется).

Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$:
Максимум в точке $(0, 3)$. Пересечение с осью Ox в $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Минимум в точке $(\pi, -3)$. Пересечение с осью Ox в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$. Максимум в точке $(2\pi, 3)$. Абсцисса одной из точек $x = \frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$.

Ответ: 1

График функции $y = -\sin\frac{x}{2}$ строится на основе графика $y = \sin x$.

1. Берем график функции $y = \sin x$.
2. Растягиваем его в 2 раза вдоль оси Ox, так как коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Получаем $y = \sin\frac{x}{2}$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox, так как перед синусом стоит знак минус.

Свойства:

• Амплитуда: $A = 1$. Множество значений $E(y) = [-1, 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:
Начало периода в точке $(0, 0)$. Минимум в точке $(\pi, -1)$. Пересечение с осью Ox в $(2\pi, 0)$. Максимум в точке $(3\pi, 1)$. Конец периода в точке $(4\pi, 0)$. Абсциссы ключевых точек не содержат неправильных дробей.

Ответ:

График функции $y = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{3}$ строится на основе графика $y = \cos x$.

1. Берем график функции $y = \cos x$.
2. Растягиваем его в 3 раза вдоль оси Ox, так как коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{3}$. Получаем $y = \cos\frac{x}{3}$.
3. Сжимаем полученный график в 2 раза вдоль оси Oy, так как коэффициент перед косинусом равен $\frac{1}{2}$.

Свойства:

• Амплитуда: $A = \frac{1}{2}$. Множество значений $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$:
Максимум в $(0, \frac{1}{2})$. Пересечение с Ox в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$. Минимум в $(3\pi, -\frac{1}{2})$. Пересечение с Ox в $(\frac{9\pi}{2}, 0)$. Максимум в $(6\pi, \frac{1}{2})$. Абсциссы некоторых точек: $x_1 = \frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$, $x_2 = \frac{9\pi}{2} = \mathbf{4}\frac{1}{2}\pi$.

Ответ: 1, 4

Преобразуем функцию к виду $y = A \cdot f(k(x - b)) + d$: $y = \sin(2(x+\frac{\pi}{6}))-3$. График строится на основе $y = \sin x$.

1. Сжимаем график $y=\sin x$ в 2 раза вдоль оси Ox (период становится $\pi$). Получаем $y = \sin 2x$.
2. Сдвигаем полученный график влево на $\frac{\pi}{6}$. Получаем $y = \sin(2(x+\frac{\pi}{6}))$.
3. Сдвигаем полученный график вниз на 3 единицы.

Свойства:

• Амплитуда: $A = 1$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{6}$ (влево).
• Вертикальный сдвиг: $-3$ (вниз).
• Множество значений $E(y) = [-1-3, 1-3] = [-4, -2]$.

Ключевые точки на одном периоде $[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$:
Начало периода (среднее значение) в $(-\frac{\pi}{6}, -3)$. Максимум в $(\frac{\pi}{12}, -2)$. Среднее значение в $(\frac{\pi}{3}, -3)$. Минимум в $(\frac{7\pi}{12}, -4)$. Конец периода (среднее значение) в $(\frac{5\pi}{6}, -3)$. Коэффициенты при $\pi$ в абсциссах являются правильными дробями.

Ответ:

Преобразуем функцию: $y = -2\cos(\frac{1}{3}(x-\frac{\pi}{3}))+1$. График строится на основе $y = \cos x$.

1. Растягиваем график $y=\cos x$ в 3 раза вдоль оси Ox (период становится $6\pi$). Получаем $y = \cos\frac{x}{3}$.
2. Растягиваем график в 2 раза вдоль оси Oy и отражаем относительно оси Ox. Получаем $y = -2\cos\frac{x}{3}$.
3. Сдвигаем полученный график вправо на $\frac{\pi}{3}$. Получаем $y = -2\cos(\frac{1}{3}(x-\frac{\pi}{3}))$.
4. Сдвигаем полученный график вверх на 1 единицу.

Свойства:

• Амплитуда: $A = 2$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{3}$ (вправо).
• Вертикальный сдвиг: $1$ (вверх).
• Множество значений $E(y) = [-2+1, 2+1] = [-1, 3]$.

Ключевые точки на одном периоде $[\frac{\pi}{3}, \frac{19\pi}{3}]$:
Начальная точка периода (минимум) находится в $(\frac{\pi}{3}, -1)$. Точка среднего значения в $(\frac{11\pi}{6}, 1)$. Максимум в $(\frac{10\pi}{3}, 3)$. Точка среднего значения в $(\frac{29\pi}{6}, 1)$. Конечная точка периода (минимум) в $(\frac{19\pi}{3}, -1)$.
Абсциссы некоторых точек: $x_1 = \frac{11\pi}{6} = \mathbf{1}\frac{5}{6}\pi$, $x_2 = \frac{10\pi}{3} = \mathbf{3}\frac{1}{3}\pi$, $x_3 = \frac{29\pi}{6} = \mathbf{4}\frac{5}{6}\pi$, $x_4 = \frac{19\pi}{3} = \mathbf{6}\frac{1}{3}\pi$.

Ответ: 1, 3, 4, 6