Номер 7.8, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.8. Воспользуйтесь определением синуса и косинуса произвольного угла и назовите два положительных и два отрицательных угла, для которых верно равенство:

a) $\sin \alpha = 1$;

б) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

в) $\cos \alpha = 0$;

г) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Воспользуемся определением синуса и косинуса через единичную окружность. Синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$), а косинус угла $\alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1,0)$ на угол $\alpha$.

Также учтем, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом $2\pi$ (или $360^\circ$). Это означает, что если $\alpha_0$ является решением уравнения, то все углы вида $\alpha = \alpha_0 + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) также будут решениями. Мы будем использовать это свойство для нахождения двух положительных и двух отрицательных углов для каждого равенства.

а) $\sin \alpha = 1$;

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых ордината ($y$) точки на единичной окружности равна 1. Такая точка только одна — $(0, 1)$.

Этой точке соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Общая формула для всех таких углов: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Найдем два положительных угла:
  • При $k=0$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
  • При $k=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi+4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.
• Найдем два отрицательных угла:
  • При $k=-1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
  • При $k=-2$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-2) = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$.

Ответ: Два положительных угла: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2} = \mathbf{2}\frac{1}{2}\pi$. Два отрицательных угла: $-\frac{3\pi}{2} = -\mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$, $-\frac{7\pi}{2} = -\mathbf{3}\frac{1}{2}\pi$.

б) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых ордината ($y$) точки на единичной окружности равна $\frac{1}{2}$. Таких точек две, они находятся в I и II координатных четвертях.

Этим точкам соответствуют две основные серии углов:

1. В I четверти: $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Общая формула: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Во II четверти: $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Общая формула: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Найдем два положительных угла:
  • Из первой серии решений при $k=0$: $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
  • Из второй серии решений при $k=0$: $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
• Найдем два отрицательных угла:
  • Из первой серии решений при $k=-1$: $\alpha = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$.
  • Из второй серии решений при $k=-1$: $\alpha = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$.

Ответ: Два положительных угла: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$. Два отрицательных угла: $-\frac{11\pi}{6} = -\mathbf{1}\frac{5}{6}\pi$, $-\frac{7\pi}{6} = -\mathbf{1}\frac{1}{6}\pi$.

в) $\cos \alpha = 0$;

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых абсцисса ($x$) точки на единичной окружности равна 0. Таких точек две: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Этим точкам соответствуют углы $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $\alpha = \frac{3\pi}{2}$ (или $-\frac{\pi}{2}$). Эти углы можно объединить в одну серию: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Найдем два положительных угла:
  • При $k=0$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
  • При $k=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
• Найдем два отрицательных угла:
  • При $k=-1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
  • При $k=-2$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-2) = -\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: Два положительных угла: $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$. Два отрицательных угла: $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2} = -\mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$.

г) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Нам нужно найти углы $\alpha$, для которых абсцисса ($x$) точки на единичной окружности равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таких точек две, они находятся во II и III координатных четвертях.

Опорный угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\frac{\pi}{4}$. Нам нужны углы во II и III четвертях.

1. Во II четверти: $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Общая формула: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. В III четверти: $\alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Общая формула: $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Найдем два положительных угла:
  • Из первой серии решений при $k=0$: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
  • Из второй серии решений при $k=0$: $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.
• Найдем два отрицательных угла:
  • Из первой серии решений при $k=-1$: $\alpha = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.
  • Из второй серии решений при $k=-1$: $\alpha = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: Два положительных угла: $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4} = \mathbf{1}\frac{1}{4}\pi$. Два отрицательных угла: $-\frac{3\pi}{4}$, $-\frac{5\pi}{4} = -\mathbf{1}\frac{1}{4}\pi$.