Номер 7.6, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

Рассмотрим выражение $\sqrt{(2\sin\frac{\pi}{4} - 1)^2} - \sqrt{(1 - 2\cos\frac{\pi}{4})^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|2\sin\frac{\pi}{4} - 1| - |1 - 2\cos\frac{\pi}{4}|$

Мы знаем значения тригонометрических функций: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим их в выражение:

$|2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1| - |1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}| = |\sqrt{2} - 1| - |1 - \sqrt{2}|$

Далее необходимо раскрыть модули. Для этого оценим знаки подмодульных выражений. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

• Выражение $\sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Оно положительное, значит $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.
• Выражение $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$. Оно отрицательное, значит $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.

Теперь подставим раскрытые модули в исходное выражение и выполним вычитание:

$(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} + 1 = 0$

Ответ: 0

Рассмотрим выражение $\sqrt{(2\cos\frac{\pi}{6} + 2)^2} + \sqrt{(2\sin\frac{\pi}{3} - 2)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|2\cos\frac{\pi}{6} + 2| + |2\sin\frac{\pi}{3} - 2|$

Мы знаем значения тригонометрических функций: $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим их в выражение:

$|2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2| + |2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2| = |\sqrt{3} + 2| + |\sqrt{3} - 2|$

Далее необходимо раскрыть модули. Для этого оценим знаки подмодульных выражений. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то:

• Выражение $\sqrt{3} + 2 \approx 1.732 + 2 = 3.732$. Оно положительное, значит $|\sqrt{3} + 2| = \sqrt{3} + 2$.
• Выражение $\sqrt{3} - 2 \approx 1.732 - 2 = -0.268$. Оно отрицательное, значит $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь подставим раскрытые модули в исходное выражение и выполним сложение:

$(\sqrt{3} + 2) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3} = 4$

Ответ: 4