Номер 7.4, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.4. Известно, что $\beta = \frac{\pi}{4}$. Сравните значения выражений:

а) $\cos\beta$ и $\cos2\beta$;

б) $\cos4\beta$ и $\sin4\beta$;

в) $\sin3\beta$ и $\sin5\beta$.

Для сравнения значений выражений подставим данное значение $\beta = \frac{\pi}{4}$ в каждое из них и вычислим.

а) $\cos\beta$ и $\cos2\beta$;
Вычислим значение каждого выражения:
$\cos\beta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos2\beta = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Сравниваем полученные результаты:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Так как $0.707 > 0$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$.
Следовательно, $\cos\beta > \cos2\beta$.
Ответ: $\cos\beta > \cos2\beta$.

б) $\cos4\beta$ и $\sin4\beta$;
Вычислим значение каждого выражения:
$4\beta = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$
$\cos4\beta = \cos(\pi) = -1$
$\sin4\beta = \sin(\pi) = 0$
Сравниваем полученные результаты:
$-1 < 0$.
Следовательно, $\cos4\beta < \sin4\beta$.
Ответ: $\cos4\beta < \sin4\beta$.

в) $\sin3\beta$ и $\sin5\beta$;
Вычислим значение каждого выражения:
$\sin3\beta = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin5\beta = \sin(5 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Сравниваем полученные результаты:
Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $\frac{\sqrt{2}}{2} > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sin3\beta > \sin5\beta$.
Ответ: $\sin3\beta > \sin5\beta$.