Номер 952, страница 182 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса пластины $m = 10 \text{ кг}$
Жесткость пружины $k = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Высота подъема $h = 1,0 \text{ м}$

Все величины представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

Минимальную работу $A_{min}$.

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять пластину, равна изменению полной потенциальной энергии системы "пластина-пружина". Работа совершается против силы тяжести и силы упругости. Изменение кинетической энергии равно нулю, так как для совершения минимальной работы подъем должен происходить очень медленно (квазистатически).

Работа $A_{min}$ пойдет на увеличение потенциальной энергии пластины в поле тяжести Земли и на увеличение потенциальной энергии деформированной пружины.

$A_{min} = \Delta E_p = E_{p,кон} - E_{p,нач}$

В начальном состоянии пластина лежит на столе, а пружина не деформирована. Если принять уровень стола за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии, то начальная потенциальная энергия системы равна нулю.

$E_{p,нач} = 0$

В конечном состоянии пластина поднята на высоту $h$. Ее потенциальная энергия в поле тяжести равна:

$E_{p,тяж} = mgh$

Чтобы удерживать пластину в равновесии на этой высоте, пружина должна быть растянута. Сила упругости пружины $F_{упр}$ должна уравновешивать силу тяжести, действующую на пластину $F_{тяж}$.

$F_{упр} = F_{тяж}$

По закону Гука $F_{упр} = k\Delta x$, где $\Delta x$ – растяжение пружины. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$.

$k\Delta x = mg$

Отсюда находим растяжение пружины в конечном состоянии:

$\Delta x = \frac{mg}{k}$

Потенциальная энергия, запасенная в растянутой пружине, равна:

$E_{p,пруж} = \frac{k(\Delta x)^2}{2} = \frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{(mg)^2}{2k}$

Полная потенциальная энергия системы в конечном состоянии является суммой потенциальной энергии пластины и потенциальной энергии пружины:

$E_{p,кон} = E_{p,тяж} + E_{p,пруж} = mgh + \frac{(mg)^2}{2k}$

Таким образом, минимальная работа равна конечной потенциальной энергии системы:

$A_{min} = mgh + \frac{(mg)^2}{2k}$

Подставим числовые значения:

$A_{min} = (10 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1,0 \text{ м}) + \frac{(10 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2}{2 \cdot 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}$

$A_{min} = 100 \text{ Дж} + \frac{(100 \text{ Н})^2}{200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 100 \text{ Дж} + \frac{10000 \text{ Н}^2}{200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 100 \text{ Дж} + 50 \text{ Дж} = 150 \text{ Дж}$

Ответ:

Ответ: $150 \text{ Дж}$.