Номер 947, страница 181 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса цилиндра, $m = 1,8$ кг
Высота цилиндра, $h = 12$ см
Диаметр основания, $d = 50$ мм

Перевод в систему СИ:
$h = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$
$d = 50 \text{ мм} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Минимальную работу, $A_{min}$

Решение:

Минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы перевести цилиндр из вертикального положения в горизонтальное, равна изменению его потенциальной энергии до момента, когда он достигнет положения неустойчивого равновесия. После этого момента цилиндр упадет сам под действием силы тяжести. Положение неустойчивого равновесия наступает, когда центр масс цилиндра находится на максимальной высоте, то есть вертикально над точкой опоры (краем основания).

Потенциальная энергия тела определяется формулой $E_p = mgh_{cm}$, где $h_{cm}$ — высота центра масс над нулевым уровнем. Примем за нулевой уровень горизонтальную поверхность.

В начальном положении, когда цилиндр стоит вертикально, его центр масс (как у однородного тела) находится на оси на половине высоты. Начальная высота центра масс: $h_1 = \frac{h}{2}$. Начальная потенциальная энергия: $E_{p1} = mg\frac{h}{2}$.

При наклоне цилиндр вращается вокруг края основания. Максимальная высота центра масс $h_2$ будет достигнута, когда он окажется точно над этим краем. Эту высоту можно найти по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются половина высоты цилиндра $(\frac{h}{2})$ и радиус его основания $(r = \frac{d}{2})$.
Максимальная высота центра масс: $h_2 = \sqrt{(\frac{h}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{h^2 + d^2}$.
Максимальная потенциальная энергия в этом положении: $E_{p2} = mgh_2 = mg\frac{\sqrt{h^2 + d^2}}{2}$.

Минимальная работа равна разности между максимальной и начальной потенциальной энергией:
$A_{min} = E_{p2} - E_{p1} = mg\frac{\sqrt{h^2 + d^2}}{2} - mg\frac{h}{2} = \frac{mg}{2}(\sqrt{h^2 + d^2} - h)$.
Шероховатая поверхность необходима для того, чтобы цилиндр не проскальзывал, а именно наклонялся. Сила трения покоя в данном случае работу не совершает, так как точка ее приложения (ось вращения) неподвижна.

Подставим числовые значения. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.
$A_{min} = \frac{1,8 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{2} (\sqrt{(0,12 \text{ м})^2 + (0,05 \text{ м})^2} - 0,12 \text{ м})$
$A_{min} = 8,82 \text{ Н} \cdot (\sqrt{0,0144 \text{ м}^2 + 0,0025 \text{ м}^2} - 0,12 \text{ м})$
$A_{min} = 8,82 \text{ Н} \cdot (\sqrt{0,0169 \text{ м}^2} - 0,12 \text{ м})$
$A_{min} = 8,82 \text{ Н} \cdot (0,13 \text{ м} - 0,12 \text{ м})$
$A_{min} = 8,82 \text{ Н} \cdot 0,01 \text{ м}$
$A_{min} = 0,0882 \text{ Дж}$

Ответ: минимальная работа, которую надо совершить, равна $0,0882$ Дж.